Nullmenge, Riemann int.bar < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:22 Mi 05.11.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei [mm] $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ [/mm] Riemann-integrierbar auf kompakten Intervallen. Zeigen Sie: Dann ist
[mm] $\Gamma:=\{(x,f(x))\in\mathbb{R}^2| x\in\mathbb{R}\}$
[/mm]
eine Nullmenge des [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] |
Hi,
ich bearbeite gerade diese Aufgabe und hänge ein wenig fest.
Ich möchte zeigen, dass [mm] $\Gamma$ [/mm] eine Nullmenge ist. Somit
[mm] $||\Chi_\Gamma||_1=0$
[/mm]
Nun ist f auf kompakten Intervallen Riemann integrierbar. Also ist f auf diesen Intervallen stetig und weil die Intervalle kompakt sind nimmt f ein Minimum und Maximum an, ist also beschränkt.
Seien [mm] $[a_k, b_k]$ [/mm] mit [mm] $k\in\mathbb{N}$ [/mm] kompakte Intervalle. Dann betrachte ich [mm] $f_{|\bigcup_{k\in\mathbb{N}}[a_k,b_k]}$
[/mm]
f an sich muss ja nicht stetig sein, es ist ja nur auf den kompakten Intervallen stetig, auch wenn ich mir nicht so recht vorstellen kann wie f aussehen könnte.
Weiterhin gibt es Treppenfunktionen [mm] $\psi_k, \varphi_k$ [/mm] mit [mm] $\psi_k\leq f_{|[a_k,b_k]}\leq \varphi_k$
[/mm]
Weil [mm] $f:[a_k,b_k]\to\mathbb{R}$ [/mm] beschränkt ist
[mm] $\int_{a_k}^{b_k^{\*}} f(x)\, dx=inf\{\int_{a_k}^{b_k} \varphi_k(x)\, dx| f_{|[a_k,b_k]}\leq\varphi_k\}$
[/mm]
Also als Hüllreihe von f kann ich ja einfach die Obersumme nehmen und damit auch den Inhalt bestimmen.
Jetzt muss ich dann noch irgendwie zeigen, dass das Infimum bezüglich der [mm] L_1-Norm [/mm] auch gleich Null ist.
Ist von meinen Gedanken bisher etwas zu gebrauchen?
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 Mi 05.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm] Riemann-integrierbar auf
> kompakten Intervallen. Zeigen Sie: Dann ist
>
> [mm]\Gamma:=\{(x,f(x))\in\mathbb{R}^2| x\in\mathbb{R}\}[/mm]
>
> eine Nullmenge des [mm]\mathbb{R}^2[/mm]
> Hi,
>
> ich bearbeite gerade diese Aufgabe und hänge ein wenig
> fest.
>
> Ich möchte zeigen, dass [mm]\Gamma[/mm] eine Nullmenge ist. Somit
>
> [mm]||\Chi_\Gamma||_1=0[/mm]
Du meinst wohl
[mm]||\chi_\Gamma||_1=0[/mm]
wobei [mm] \chi_\Gamma [/mm] die char. Funktion von [mm] \gamma [/mm] ist.
Zunächst brauchst Du die Messbarkeit von [mm] \Gamma. [/mm] Das hattet Ihr sicher.
>
> Nun ist f auf kompakten Intervallen Riemann integrierbar.
> Also ist f auf diesen Intervallen stetig
Nein. Das ist i.a. nicht der Fall !
> und weil die
> Intervalle kompakt sind nimmt f ein Minimum und Maximum an,
> ist also beschränkt.
>
> Seien [mm][a_k, b_k][/mm] mit [mm]k\in\mathbb{N}[/mm] kompakte Intervalle.
> Dann betrachte ich [mm]f_{|\bigcup_{k\in\mathbb{N}}[a_k,b_k]}[/mm]
> f an sich muss ja nicht stetig sein, es ist ja nur auf den
> kompakten Intervallen stetig, auch wenn ich mir nicht so
> recht vorstellen kann wie f aussehen könnte.
>
> Weiterhin gibt es Treppenfunktionen [mm]\psi_k, \varphi_k[/mm] mit
> [mm]\psi_k\leq f_{|[a_k,b_k]}\leq \varphi_k[/mm]
>
> Weil [mm]f:[a_k,b_k]\to\mathbb{R}[/mm] beschränkt ist
>
> [mm]\int_{a_k}^{b_k^{\*}} f(x)\, dx=inf\{\int_{a_k}^{b_k} \varphi_k(x)\, dx| f_{|[a_k,b_k]}\leq\varphi_k\}[/mm]
>
> Also als Hüllreihe von f kann ich ja einfach die Obersumme
> nehmen und damit auch den Inhalt bestimmen.
> Jetzt muss ich dann noch irgendwie zeigen, dass das Infimum
> bezüglich der [mm]L_1-Norm[/mm] auch gleich Null ist.
>
> Ist von meinen Gedanken bisher etwas zu gebrauchen?
Ich glaube nicht.
Zeig, dass [mm] \Gamma [/mm] das 2-dimensionale Maß =0 hat. Nach Fubini ist dieses Maß
= [mm] \integral_{\IR}^{}{(\integral_{f(x)}^{f(x)}{1 dy}) dx}
[/mm]
FRED
>
> Danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Mi 05.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Der Satz von Fubini steht uns leider nicht zur Verfügung.
Müssen Funktionen nicht stetig sein, damit sie integrierbar sind? Oder warum ist
"> Nun ist f auf kompakten Intervallen Riemann integrierbar.
> Also ist f auf diesen Intervallen stetig "
das im allgemeinem nicht korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Mi 05.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Der Satz von Fubini steht uns leider nicht zur Verfügung.
Dann muss ich mir etwas anderes einfallen lassen.
>
> Müssen Funktionen nicht stetig sein, damit sie
> integrierbar sind? Oder warum ist
>
> "> Nun ist f auf kompakten Intervallen Riemann
> integrierbar.
> > Also ist f auf diesen Intervallen stetig "
>
> das im allgemeinem nicht korrekt?
Nein. Z.B. ist jede monotone Funktion auf [a,b] Riemannint. Basttle mal eine monotone Funktion auf [0,1], die nicht stetig ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Mi 05.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Also wir hatten den Satz von Fubini nur für Treppenfunktionen, aber nicht die Verallgemeinerung.
Eine unstetige Funktion auf [0,1], die Monoton ist könnte ich einfach durch
[mm] $f(x)=\begin{cases} x, \text{falls} x\leq 0.5\\ x+1, \text{sonst}\end{cases}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Mi 05.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also wir hatten den Satz von Fubini nur für
> Treppenfunktionen, aber nicht die Verallgemeinerung.
Die Verallgemeinerung ist doch naheliegend .....
>
> Eine unstetige Funktion auf [0,1], die Monoton ist könnte
> ich einfach durch
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x, \text{falls} x\leq 0.5\\ x+1, \text{sonst}\end{cases}[/mm]
Die tuts
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Mi 05.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Naja, aber ich kann ja nicht einfach etwas verwenden, was wir nicht in der Vorlesung hatten.
Kann ich es vielleicht einfach auf Treppenfunktionen zurückführen?
Ich muss ja zeigen, dass das [mm] $||\chi_{\Gamma}||_1=0$ [/mm] und das bedeutet das Infimum der Inhalte meiner Hüllreihen muss Null sein. Wäre das soweit korrekt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mi 05.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Wie kann man sich eine Nullmenge eigentlich vorstellen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Mi 05.11.2014 | | Autor: | andyv |
Ist natürliche so eine Sache mit der "Vorstellung" von solchen abstrakten Begriffen.
Ich weiß nicht, wie man anschaulich erklären kann, dass z.B. die Cantor Menge eine L-Nullmenge ist, aber in den meisten Fällen reicht es aus sich solche Mengen als relativ dünn vorzustellen.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Mi 05.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
die eigentliche Frage ist jetzt wie du das zeigen willst?
Ich schlage jedenfalls folgendes vor: Da f lokal Riemann integrierbar ist, existiert zu jedem $n [mm] \in \IZ$ [/mm] und vorgegebenem [mm] $\epsilon>0$ [/mm] eine Zerlegung [mm] $\zeta$ [/mm] von [n,n+1], sodass [mm] $O(f,\zeta)-U(f,\zeta)<\epsilon$ [/mm] gilt.
Es sollte nun nicht schwer sein zu einem [mm] $\delta>0$ [/mm] eine Ueberdeckung des Graphen von [mm] $f|_{[n,n+1]}$ [/mm] mit (endlich vielen) Quadern [mm] $Q_i$ [/mm] zu finden, sodass [mm] $\sum_i \mu(Q_i)<\delta [/mm] $.
Damit wäre der Graph eine Jordan-Nullmenge und [mm] $\Gamma$ [/mm] eine Lebesgue-Nullmenge.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Do 06.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich hätte gedacht, dass ich sowieso schon die Obersumme als Überdeckung angeben könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Do 06.11.2014 | | Autor: | andyv |
Das ist doch nur eine Summe von reellen Zahlen, du solltest ein System von Quadern angeben, das den Graphen überdeckt.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Do 06.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, ich wähle die Obersumme als solche Überdeckung.
Ich teile also die Intervalle entsprechend in abzählbar viele Teilintervalle auf und wähle als Höhe der Quader das Supremum der Funktion in diesen Teilintervallen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Do 06.11.2014 | | Autor: | andyv |
Die Quader sind aber allein durch Höhe und Breite nicht eindeutig festgelegt.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Do 06.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Hmm, das verstehe ich jetzt nicht so ganz, wir betrachten hier doch nur eine Funktion [mm] $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
[/mm]
Da sollten die Quader doch nur aus Höhe und Breite bestehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Do 06.11.2014 | | Autor: | andyv |
Ich kann doch auch die Quader verschieben oder drehen, auf jedenfall muss der Graph nicht in der Vereinigung der Quader enthalten sein.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Do 06.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok, also ich habe eine riemann integrierbare Funktion. Daher finde ich eine Ober und Untersumme so, dass der Abstand von beiden kleiner als [mm] $\epsilon$ [/mm] wird.
Das ist klar.
Nun wollen wir zeigen, dass [mm] $\sum_{i\in\mathbb{N}} \mu(Q_i)<\delta$
[/mm]
gilt.
Meinst du hier mit [mm] $\mu$ [/mm] die charakteristische Funktion der Quader?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Do 06.11.2014 | | Autor: | andyv |
[mm] $\mu$ [/mm] ist das Lebesgue-Maß oder wahlweise der Jordan-Inhalt. Ist in diesem Fall dasselbe.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Do 06.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Entschuldigung, aber irgendwie verstehe ich deinen Ansatz nicht so wirklich...
Ich möchte zeigen, dass [mm] $\Gamma$ [/mm] eine Nullmenge ist, also das die charakteristische Funktion von [mm] $\Gamma$ [/mm] bezüglich der L1_Norm gleich Null ist.
Dazu muss ich zeigen, dass das Infimum der Hüllreihe Null ist, also Quader konstruieren welche meine Funktion f enthält. Dazu nutze ich aus, dass f auf kompakten Intervallen Riemann integrierbar ist und verwende die Ober/Untersumme.
Habe ich das richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Do 06.11.2014 | | Autor: | andyv |
Ja, um es mal konkret zu [mm] machen.\: [/mm] Wähle die Quader [mm] $[n,a_1]\times[\inf\limits_{x \in [n,a_1]} f(x),\sup\limits_{x \in [n,a_1]}f(x)]$, $[a_1,a_2]\times[\inf\limits_{x \in [a_1,a_2]} f(x),\sup\limits_{x \in [a_2,a_3]}f(x)]$,... [/mm] für eine geeignete Zerlegung [mm] $a_1
Liebe Grüße
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:28 Do 06.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok, ich denke das habe ich nachvollzogen.
Ich nehme also die kompakten Intervalle und zerlege diese in Teilintervalle. Diese überdecke ich dann entsprechend mit diesen Quadern.
Nun muss ich eben noch zeigen, dass
[mm] ||\chi_{\Gamma}||_1=0 [/mm] ist.
Ich könnte aber auch
[mm] $vol(\Gamma)=0$ [/mm] zeigen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Sa 08.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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