Nullmenge, innere Punkte < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Mi 12.11.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Sei [mm] $N\subset\mathbb{R}^n$ [/mm] Nullmenge. Dann besitzt N keine inneren Punkte. |
Guten Abend,
ich würde gerne obiges über einen Widerspruchsbeweis zeigen. Ich nehme also gibt mindestens einen inneren Punkt [mm] $x_0\in [/mm] N$.
Dann gibt es auch ein [mm] $\epsion>0$ [/mm] so, dass [mm] $B_{epsilon}(x_0)\subset [/mm] N$ offen ist.
Diesen Ball möchte ich nun durch einen Quader überdecken. Damit wäre dann klar, dass es sich um keine Nullmenge handeln kann, wenn ich dieser Umgebung ein Maß zuordnen kann.
Wäre das korrekt?
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Hallo,
überdecken bringt nicht viel, genauso wie divergente Majoranten bei Folgen.
Wenn dann schon einen Quader einbeschreiben.
Aber viel einfacher wird's wenn man die Kugel zum Quader macht indem man die richtige Norm nimmt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mi 12.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Die richtige "Norm" wäre dann die [mm] $||.||_1$-Halbnorm?
[/mm]
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Wieso Halb?
Und wenn du da von der Kugel das Volumen ausrechnen kannst, bzw. ihr bereits ausgerechnet habt, dann ja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mi 12.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Die [mm] ||.||_1 [/mm] "Norm" ist doch nicht definit, oder verstehe ich dich gerade falsch?
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> Die [mm]||.||_1[/mm] "Norm" ist doch nicht definit, oder verstehe
> ich dich gerade falsch?
Die ist definitiv definit.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Mi 12.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Wir haben die [mm] $\mathcal{L}_1$-Halbnorm [/mm] so definiert:
[mm] $||f||_1=inf\{I(\phi)|\phi\text{ist Hüllreihe zu f}\}\in[0,\infty]$
[/mm]
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> Wir haben die [mm]\mathcal{L}_1[/mm]-Halbnorm so definiert:
>
> [mm]||f||_1=inf\{I(\phi)|\phi\text{ist Hüllreihe zu f}\}\in[0,\infty][/mm]
>
>
Das ist schön.
Was hat das mit der Aufgabe zu tun?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Mi 12.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich weiß nicht, wir benutzen eigentlich nur noch diese Halbnorm, daher dachte ich auch hier.
Du meinst also ich soll eine "normale" Norm nehmen?
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> Ich weiß nicht, wir benutzen eigentlich nur noch diese
> Halbnorm, daher dachte ich auch hier.
Das ist doch nicht das Ernst?
> Du meinst also ich soll eine "normale" Norm nehmen?
Du sollst eine Norm nehmen, die auf dem Raum definiert ist der betrachtet wird, nicht auf irgendeinem anderen der dir gerade einfällt.
Und übrigens sind die [mm] $\mathcal{L}_p$-Normen [/mm] i.A. nicht äquivalent, d.h. man kann sie nicht einfach so gegenseitig ersetzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Mi 12.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich weiß leider im Grunde auch nicht warum ich hier gerade eine Norm betrachten soll...
Wir befinden uns hier doch gerade im endlich dimensionalen. Also sind alle Normen äquivalent.
Das ich nicht die Halbnorm nehmen soll ist mir denke ich nun klar.
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> Ich weiß leider im Grunde auch nicht warum ich hier gerade
> eine Norm betrachten soll...
> Wir befinden uns hier doch gerade im endlich
> dimensionalen. Also sind alle Normen äquivalent.
Wieso doch?
Das ist genau der Grund warum man die Normen wechseln kann.
Wenn dir mein Vorschlag nicht taugt, dann mach es so wie du meinst.
> Das ich nicht die Halbnorm nehmen soll ist mir denke ich
> nun klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Mi 12.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich habe nie gesagt, dass mir dein Vorschlag nicht taugt. Außerdem bin ich sehr dankbar für deine Hilfe.
Ich wollte dich nur bitten mir deinen Vorschlag vielleicht noch einmal zu erklären.
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> Ich habe nie gesagt, dass mir dein Vorschlag nicht taugt.
> Außerdem bin ich sehr dankbar für deine Hilfe.
> Ich wollte dich nur bitten mir deinen Vorschlag vielleicht
> noch einmal zu erklären.
Meiner Meinung nach hast du mehr davon wenn du mal länger als 5 Minuten über meine Idee nachdenkst als wenn ich sie haarklein erkläre.
(es ist eigentlich auch nicht mehr dahinter als ich bereits geschrieben hab.)
Deine ursprüngliche Idee war ja durchaus richtig und es ist daher eine sehr gute Idee sie zu verfolgen.
Ich wollte nur einen Vorschlag machen wie es einfacher geht, in dem Sinne, dass es schöner ist hinzuschreiben.
Für dich mag aber den Weg einfacher sein, also nimm den.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Mi 12.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Für mich klang dein erster Beitrag so als wäre meine Idee nicht geeignet.
Deine Idee wäre ja mittels einer geeigneten Norm aus der Epsilon Kugel einen Quader zu machen. Grundsätzlich verstehe ich die Idee mit dem Quader, nur ich weiß nicht wie ich aus einer Kugel mit Hilfe einer Norm einen Quader bekomme.
Bei meinem Weg weiß ich leider nicht wie ich weiter machen könnte. Deshalb fragte ich ja.
Sehr gerne würde ich deinen weiter verfolgen und verstehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:41 Do 13.11.2014 | | Autor: | andyv |
Weißt du überhaupt was eine Kugel ist?
In einem metrischen Raum $(X,d)$ ist [mm] $B_r(x_0):=\{x \in X| d(x,x_0)
Wenn du nun eine passende Metrik nimmst (welche wohl?), dann [mm] \textit{wird} [/mm] nicht aus der Kugel ein Quader, sondern die Kugel ist dann ein Quader.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Do 13.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann wird es sich wohl um die Standardmetrix, also die zwei-Norm handeln.
Also [mm] $B_{\epsilon}(x_0)$ [/mm] bezeichnet ja einen Ball um den Punkt [mm] $x_0$ [/mm] mit Radius [mm] $\epsilon$. [/mm]
Wenn ich diesen "Ball" nun mit der 2-Norm versehe, erschließt sich mir gerade nicht ganz wieso dies ein Quader ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Do 13.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dann wird es sich wohl um die Standardmetrix, also die
> zwei-Norm handeln.
>
> Also [mm]B_{\epsilon}(x_0)[/mm] bezeichnet ja einen Ball um den
> Punkt [mm]x_0[/mm] mit Radius [mm]\epsilon[/mm].
ja.
> Wenn ich diesen "Ball" nun mit der 2-Norm versehe,
> erschließt sich mir gerade nicht ganz wieso dies ein
> Quader ist.
Seit wann versieht man Bälle mit einer Metrik? Du hängst Dich viel zu sehr
an dem *anschaulichen* Ball auf. Bei der *Balldefinition* wir IMMER eine
Metrik verwendet: Ist $(X,d)$ ein metrischer Raum, so heißt für [mm] $x_0 \in [/mm] X$ und [mm] $\epsilon [/mm] > 0$
die folgende (Teil-) Menge (von X)
[mm] $B_{\epsilon}(x_0):=\{x \in X \mid d(x,x_0) < \epsilon\}$
[/mm]
der "Ball um [mm] $x_0$ [/mm] mit Radius [mm] $\epsilon$".
[/mm]
Du kannst auch etwa
[mm] $B^{(d)}_{\epsilon}(x)$ [/mm] (oder Dir selbst eine passende, eindeutige Notation)
dafür schreiben, um die Metrik [mm] $d\,$ [/mm] zu betonen.
Betrachten wir mal den [mm] $\IR^2$ [/mm] ausgestattet mit verschiedenen Metriken,
denn das ist irgendwie alles noch *anschaubar* und interessant :
Wie sieht der Rand des "Einheitsballes" dort bei verschiedenen Metriken
aus (wir haben also verschiedene metrische Räume!)?
Die Metrik [mm] $d=d_1$ [/mm] ist die von der Norm [mm] $\|.\|_1$ [/mm] induzierte Metrik, sprich:
Für alle $x,y [mm] \in \IR^2$ [/mm] ist [mm] $d_1(x,y):=\|x-y\|_1=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|$, [/mm] wobei
[mm] $x=(x_1,x_2)$ [/mm] und [mm] $y=(y_1,y_2)$. [/mm] Also ist
[mm] $B^{(d_1)}_{\red{1}}((0,0))=\{(z_1,z_2) \in \IR^2:\;\; |z_1|+|z_2| \le \red{1}\}.$
[/mm]
Ist Dir klar, was der Rand
[mm] $\partial B^{(d_1)}_{\red{1}}((0,0))=\{(z_1,z_2) \in \IR^2:\;\; |z_1|+|z_2|=\red{1}\}$
[/mm]
anschaulich ist?
Jetzt zur Metrik, bei der der Begriff "Ball" auch anschaulich zu dem passt, was
wir uns darunter vorstellen:
Die Metrik [mm] $d=d_2$ [/mm] ist die von der Norm [mm] $\|.\|_2$ [/mm] induzierte Metrik, sprich:
Für alle $x,y [mm] \in \IR^2$ [/mm] ist [mm] $d_2(x,y):=\|x-y\|_2=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}$, [/mm] wobei
[mm] $x=(x_1,x_2)$ [/mm] und [mm] $y=(y_1,y_2)$. [/mm] Also ist
[mm] $B^{(d_2)}_{\red{1}}((0,0))=\{(z_1,z_2) \in \IR^2 \mid \sqrt{z_1^2+z_2^2} \le \red{1}\}.$
[/mm]
Ist Dir klar, was der Rand
[mm] $\partial B^{(d_2)}_{\red{1}}((0,0))=\{(z_1,z_2) \in \IR^2 \mid \sqrt{z_1^2+z_2^2} = \red{1}\}$
[/mm]
(Nebenbei: Siehst Du, dass hier auch der *aus der Schule bekannte anschauliche
Pythagoras* mit drin steckt?)
anschaulich ist?
Verstehst Du den Zusammenhang
![[]](/images/popup.gif) zu diesem Bild?
Ist Dir klar, was "Äquivalenz von Normen" bzw. "Äquivalenz von Metriken"
überhaupt bedeutet?
http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=112822&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D1%26ved%3D0CCMQFjAA
Jetzt mal zurück zur Aufgabe: Sei [mm] $N\,$ [/mm] Nullmenge. Angenommen, [mm] $x_0 \in [/mm] N$ wäre
doch innerer Punkt. Weil alle Normen auf [mm] $\IR^n$ [/mm] äquivalent sind, reicht es,
wenn wir den [mm] $\IR^n$ [/mm] mit der von der [mm] $\|.\|_1$ [/mm] her induzierten Metrik betrachten.
Es gibt also ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ mit
[mm] $B^{(d_1)}_\epsilon(x_0)=\left\{r \in \IR^n:\;\; \sum_{k=1}^n |r_k| \le 1\right\}$ $\subseteq$ $N\,$
[/mm]
Das "Volumen" dieses Balls ist aber bekanntlich berechenbar... (Hast Du
eine Formel parat bzw. kannst Du eine *entwickeln*?)
Nebenbei: Eigentlich sollte man bei [mm] $d_1:=d_{\|.\|_1}$ [/mm] auch besser [mm] $d_{\|.\|_1,n}$ [/mm] schreiben...
So ganz nebenbei: Hier muss man bei der Volumenberechnung der [mm] $\epsilon$-Kugel
[/mm]
schon ein wenig aufpassen (Du musst ja die Kantenlängen irgendwoher
berechnen können).
Ich glaube, wesentlich weniger Denkarbeit hat man, wenn man direkt die
von der [mm] $\|.\|_\infty$ [/mm] induzierte Metrik betrachtet:
[mm] $(2\epsilon)^n$
[/mm]
sollte dann das Volumen des obigen Balls betragen. Warum? Schau' Dir
das Bild an und/oder lese Dir
hier Beitrag No. 3
durch!
In der [mm] $d_1$-Metrik [/mm] sieht eine entsprechende Volumenformel aber sehr
ähnlich aus (das kann man sich auch schnell aus dem Bild klarmachen)...
P.S. Bzgl. der Einheitskugelnränder: Siehe auch
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fhoff/prob2011/sol2.pdf
P.P.S. Vielleicht noch ein Hinweis "zu dem Bild" des Randes des Einheitsballes
von [mm] $\IR^2$ [/mm] mit der von der [mm] $\|.\|_1$ [/mm] induzierten Metrik:
$(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] liegt genau dann auf dem Rand, wenn
[mm] $|x|+|y|=1\,.$
[/mm]
1. Fall: Sei sowohl $x [mm] \ge [/mm] 0$ als auch $y [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Dann ist
$|x|+|y|=1$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x+y=1$ [mm] $\gdw$ $y=1-x\,.$
[/mm]
Das bedeutet: Im 1. Quadranten ist der Rand des Einheitskreises als Graph
der Funktion
[mm] $y=1-x\,$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] [0,1]$)
(das ist eine Strecke!)
sichtbar.
2. Fall: $x [mm] \le [/mm] 0$ und $y [mm] \ge [/mm] 0$:
$|x|+|y|=1$ [mm] $\gdw$ [/mm] $-x+y=1$ [mm] $\gdw$ $y=1+x\,.$
[/mm]
Das bedeutet: Im 2. Quadranten ist der Rand des Einheitskreises als Graph
der Funktion
[mm] $y=1+x\,$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] [0,1]$)
sichtbar.
Wenn Du nun noch guckst, was da im 3. und 4. Quadranten rauskommt,
verstehst Du auch, warum das Bild genauso aussieht, wie es aussieht!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:32 Do 13.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
überdecken brauchst du hier nichts. Du kennst ja bereits das Maß der Kugel (siehe letzte Aufgabe), aus Monotoniegründen kann dann N keine Nullmenge sein.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Do 13.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah, das ist natürlich clever.
Dann kann ich das Volumen der Kugel einfach angeben und dies ist sicherlich positiv, womit ich direkt den Widerspruch hätte. Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Do 13.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ah, das ist natürlich clever.
>
> Dann kann ich das Volumen der Kugel einfach angeben und
> dies ist sicherlich positiv, womit ich direkt den
> Widerspruch hätte. Richtig?
Ja, es ist positiv
FRED
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:52 Do 13.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok, also nun einfach so:
Angenommen N hat einen inneren Punkt [mm] $x_0$. [/mm] Dann gibt es eine offene Umgebung [mm] $B_{\epsilon}(x_0)$ [/mm] mit [mm] $\epsilon>0$ [/mm] und [mm] $B_{\epsilon}(x_0)\subset [/mm] N$.
Es gilt [mm] $vol(B_{\epsilon}(x_0))=c_n(\epsilon)^n>0$ [/mm] für ein [mm] $c_n>0$, [/mm] also ist N keine Nullmenge.
Und das wollte ich ja zeigen.
@Macel: Danke für den ausführlichen Beitrag.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Sa 15.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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