Nullmengen messbar < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Di 09.11.2010 | | Autor: | Torste |
Hallo,
habe eine kleine Frage zum Verständnis der Nullmengen.
Unser Prof meinte nebenbei, dass die immer messbar wären - ich glaube er hat das in Bezug auf [mm] \alpha-messbare [/mm] NUllmangen gemeint, also dass diese auch [mm] \alpha-messbar [/mm] wären.
Aber wenn ich mir das jetz anschaue frage ich mich ob das überhaupt angehen kann - ich weiß dann ja nur das gilt:
Wenn jetz N eine NUllmenge ist, dann [mm] \alpha(N)=0
[/mm]
Wenn das jetzt messbar sein sollte, müsste ja gelten:
[mm] \alpha(A)=\alpha(A \cap N)+\alpha(A \cap N^c)
[/mm]
Aber ich weiß jetzt nicht warum - allerdings auch nicht warum nicht?
Was also macht Sinn oder kann man das gar nicht eindeutig sagen!?
Danke schonmal
Torste
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:05 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Torste,
> habe eine kleine Frage zum Verständnis der Nullmengen.
> Unser Prof meinte nebenbei, dass die immer messbar wären
> - ich glaube er hat das in Bezug auf [mm]\alpha-messbare[/mm]
> NUllmangen gemeint, also dass diese auch [mm]\alpha-messbar[/mm]
> wären.
> Aber wenn ich mir das jetz anschaue frage ich mich ob das
> überhaupt angehen kann - ich weiß dann ja nur das gilt:
> Wenn jetz N eine NUllmenge ist, dann [mm]\alpha(N)=0[/mm]
>
> Wenn das jetzt messbar sein sollte, müsste ja gelten:
> [mm]\alpha(A)=\alpha(A \cap N)+\alpha(A \cap N^c)[/mm]
>
> Aber ich weiß jetzt nicht warum - allerdings auch nicht
> warum nicht?
> Was also macht Sinn oder kann man das gar nicht eindeutig
> sagen!?
Mir wird deine Verwirrung gerade nicht klar -- die Gleichheit oben ist korrekt (wenn [mm] $N\in\mathcal{A}$, [/mm] also in der zugrundeliegenden [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] liegt).
Um zu entscheiden, ob Nullmengen messbar sind, musst du dir eure Definition von Nullmenge anschauen.
Wenn ihr Nullmengen (nur) definiert habt als solche Mengen, die das Maß Null haben, dann sind sie natürlich trivialerweise messbar (denn jede Menge der [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] wird messbar genannt):
Def 1: [mm] $N\in\mathcal{A}$ [/mm] heißt Nullmenge [mm] $:\gdw$ $\alpha(N)=0$
[/mm]
Manchmal werden aber auch alle Teilmengen von Mengen mit Maß Null Nullmengen genannt (ob das so ist, musst du in deiner Mitschrift nachsehen). Diese Teilmengen sind im Allgemeinen nicht wieder in der [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] enthalten, also auch nicht messbar:
Def 2: [mm] $N\subset\Omega$ [/mm] heißt Nullmenge [mm] $:\gdw$ [/mm] es existiert ein [mm] $N'\in\mathcal{A}$ [/mm] und [mm] $N\subset [/mm] N'$ mit der Eigenschaft [mm] $\alpha(N')=0$
[/mm]
VIele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:47 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Torste |
Erstmal danke dir!
Wir haben es tatsächlich nur so definiert, wie du es in Fall 1.) beschreibts!
Aber warum gehst du gleich davon aus, dass N [mm] \in \mathcal{A} [/mm] ?
UNd warum ist N dann auf jeden Fall messbar?
Das kann ich leider immernoch nicht nachvollziehen?
Was wäre denn, wenn N [mm] \not\in \mathcal{A} [/mm] ?
Gruß Torste
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:12 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Was wäre denn, wenn N $ [mm] \not\in \mathcal{A} [/mm] $?
Wenn Ihr es nur wie in 1. definiert habt, dann ist der Begriff "Nullmenge" auch nur für [mm] $N\in\mathcal{A}$ [/mm] definiert.
ciao
Stefan
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