Nullraum u. Rang einer Matrix < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Matrix [mm] A=\pmat{1&0&1&1 \\ 0&2&1&0 \\ 0&2&2&2}\in\IR^{3\times4}
[/mm]
a) Bestimmen Sie den Nullraum N(A) und den Rang dimR(A) von A!
b) Bestimmen Sie alle Vektoren [mm] \vec{b}\in\IR^{3}, [/mm] für die das LGS [mm] Ax=\vec{b} [/mm] mindestens eine Lösung besitzt.
c) Gibt es Vektoren [mm] \vec{b}\in\IR^{3}, [/mm] für die das LGS [mm] Ax=\vec{b} [/mm] genau eine Lösung besitzt? |
Hallo
Ich brauche bei dieser Aufgab unbedingt mal eure Hilfe. Dies war mal ne Klausur Aufgabe und ich weiß gar nicht wie ich an die heran gehen soll. Ws würden mir schon Kleinigkeiten und Denkanstöße helfen.
Grundsätzlich liegt hier das Problem, dass ich wahrscheinlich noch nicht wirklich begriffen habe, was genau eigentlich der Nullraum und der Rang einer Matrix ist.
Ich würde mich über Hilfe wirklich freuen.
LG Leni-chan
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> Gegeben ist die Matrix [mm]A=\pmat{1&0&1&1 \\ 0&2&1&0 \\ 0&2&2&2}\in\IR^{3\times4}[/mm]
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> a) Bestimmen Sie den Nullraum N(A) und den Rang dimR(A) von
> A!
Hallo,
Nullraum:
gefragt ist hier nach dem Lösungsraum des Gleichungssystems Ax=0.
Du mußt also mit einer der Dir bekannten Methoden das GS lösen und den Lösungsraum, bzw. eine Basis desselben, bestimmen.
Der Rang ist die Anzahl linear unabhängiger Spalten der Matrix. Stichwort: Zeilenstufenform.
> b) Bestimmen Sie alle Vektoren [mm]\vec{b}\in\IR^{3},[/mm] für die
> das LGS [mm]Ax=\vec{b}[/mm] mindestens eine Lösung besitzt.
Hier ist zu schauen, für welche [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] das LGS
[mm] Ax=\vektor{b_1\\b_2\\b_3} [/mm] lösbar ist.
> c) Gibt es Vektoren [mm]\vec{b}\in\IR^{3},[/mm] für die das LGS
> [mm]Ax=\vec{b}[/mm] genau eine Lösung besitzt?
Das läßt sich vermutlich mit einem satz aus der Vorlesung schnell beantworten.
Gruß v. Angela
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Dann würde ich also die [mm] 3\times4 [/mm] Matrix bei a) 0 setzen und dann versuchen das Gaußverfahren anzuwenden. Aber ich habe ja hier sozusagen 4 Unbekannte und nur 3 Gleichungen, so dass ich das Gauß verfahren dann doch nicht anwenden kann.
Oder hab ich da einen Denkfehler.
LG Leni-chan
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> Dann würde ich also die [mm]3\times4[/mm] Matrix bei a) 0 setzen und
> dann versuchen das Gaußverfahren anzuwenden. Aber ich habe
> ja hier sozusagen 4 Unbekannte und nur 3 Gleichungen, so
> dass ich das Gauß verfahren dann doch nicht anwenden kann.
> Oder hab ich da einen Denkfehler.
hallo,
Du kannst das Gaußverfahren anwenden.
Leg' mal los und bring die Matrix auf Zeilenstufenform.
Dann kann Dir jemand weiterhelfen.
Gruß v. Angela
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so ich hab jetzt das LGS umgeformt und bekomme:
[mm] \pmat{1&0&1&1 \\ 0&2&1&0 \\ 0&0&1&2}=0
[/mm]
Und ich hab immer noch das Probelem, dass im Prinzip eine Zeile fehlt. Egal wie sie ist ja nicht quadratisch und ich bekomme keine "Diagonale von 1" hin. Wie soll es jetzt weitergehen um irgendwann den Nullraum zu erkennen?
LG Leni-chan
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Hey,
setze [mm] x_4:=t [/mm] und rechne dann ganz normal weiter. Dein Nullraum hat so also mind. die Dimension 2.
Gruß Patrick
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Hallo Patrick,
> Hey,
> setze [mm]x_4:=t[/mm] und rechne dann ganz normal weiter. Dein
> Nullraum hat so also mind. die Dimension 2. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wie kommst du auf diese Schlussfolgerung?
Der Kern bzw. Nullraum ist doch hier eindimensional
> Gruß Patrick
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 So 16.03.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Sorry, mein Fehler. Ich wollte eigentlich sagen, dass eine Gerade herauskommt. Aber die ist ja selbstverständlich eindimensional.
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Gut die Berechnung mach ich noch, aber wie sieht man denn das die dim von A schon mind.2 ist?
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Hallo Leni,
> Gut die Berechnung mach ich noch, aber wie sieht man denn
> das die dim von A schon mind.2 ist?
Das war ein kleiner Fehler, der Nullraum ist hier eindimensional.
Bestimme mal mit Patricks Ansatz [mm] $x_4:=t$ [/mm] die Lösungsgesamtheit, dann siehst du, dass der Lösungsraum (oder Nullraum oder Kern) genau von einem Vektor aufgespannt wird, also dim=1 hat
LG
schachuzipus
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Also als Lösung hab ich jetzt folgenden Vektor bekommen:
[mm] \vektor{t\\t\\-2t\\t}
[/mm]
Ich hoffe das ist erst mal richtig. Und daraus kann ich jetzt dimR(A) ablesen?
Eine Frage hätte ich da noch. Wie würde denn das Ergebnis aussehen, wenn der Rang nicht eindimensional sondern 2-o.3dimensional ist. Und wie genau kann ich mir das dann vorstellen?
LG Leni-chan
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> Also als Lösung hab ich jetzt folgenden Vektor bekommen:
>
> [mm]\vektor{t\\t\\-2t\\t}[/mm]
Hallo,
das ist nicht nur ein einziger Vektor, sondern ganz viele, denn das t ist ja völlig beliebig.
Das heißt: alle Vektoren der Gestalt [mm] t*\vektor{1\\1\\-2\1} [/mm] lösen Deine Gleichung.
Der Lösungsraum ist also eine Gerade, und eine Basis des Lösungsraumes ist [mm] \vektor{1\\1\\-2\1}.
[/mm]
Du kann st den Lösungsraum auch schreiben als [mm] <\vektor{1\\1\\-2\1}>, [/mm] je nachdem, welche Notation bei Euch üblich ist.
Die Dimension des Nullraumes ist also =1.
(Anzahl der Variablen - Rang der Matrix)
> Ich hoffe das ist erst mal richtig. Und daraus kann ich
> jetzt dimR(A) ablesen?
Mit R(A) meinst Du den Rang von A?
Wenn Du die Matrix korrekt auf ZSF gebracht hast, ist der Rang die Anzahl der Zeilen, die nicht komplett aus Nullen bestehen.
> Eine Frage hätte ich da noch. Wie würde denn das Ergebnis
> aussehen, wenn der Rang nicht eindimensional sondern
> 2-o.3dimensional ist.
Du möchtest sicher wissen, wie die Matrix aussehen müßte, wenn der Nullraum die Dimension 2 hätte.
Wenn z.B. dies Deine ZSF wäre
$ [mm] \pmat{1&0&1&1 \\ 0&2&1&0 \\ 0&0&0&0}=0 [/mm] $,
wäre der Rang der Matrix=2 (2 Nichtnullzeilen), und die Dimension des Nullraumes wäre
4 (Variablen) - Rang=2.
Du könntest hier [mm] x_4= [/mm] s und [mm] x_3=t [/mm] frei wählen und bekämst als Lösungsraum s*Vektor1 +t*Vektor2.
Gruß v. Angela
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