Nullst/Fkt. mit absoluten Glie < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Fr 04.04.2014 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | [mm] f(x)=x^3+2x-2
[/mm]
Von dieser Funktion will ich die Nullstellen bestimmen.
Von Angela weiß ich, dass man so vorgeht:
Man nimmt die Teiler (ganze Zahlen) des absoluten Gliedes, also
1, -1, 2 und -2
und macht der Reihe nach mit diesen jeweils Polynomdivision,
VORAUSGESETZT der Koeffizient der höchsten Potenz ist 1.
höchste Potenz ist [mm] x^3
[/mm]
ihr Koeffizient 1 |
Guten Abend,
ich habe mit allen vieren
/ (x-1)=
/ (x+1)=
/ (x-2)=
/ (x+2)=
Polynomdivision gemacht, mit dem Ergebnis:
Keine der "errateten" Nullstellen ist Nullstelle, weil immer ein Rest bleibt.
Und nu?
Unvorstellbar, dass diese kubische Fkt. KEINE Nullst. haben soll.
Ich habe aber von Anfang ganz ruhig, genau u. konzentriert gearbeitet, um blöde Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden. Ich habe dann ne Std. später alle 4 Teilaufgaben nochmal neu gerechnet. Nix - kein Fehler.
Was bitte aber stimmt hier nicht?
Für Hilfe vielen Dank!
Sabine
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> [mm]f(x)=x^3+2x-2[/mm]
>
> Von dieser Funktion will ich die Nullstellen bestimmen.
>
> Von Angela weiß ich, dass man so vorgeht:
> Man nimmt die Teiler (ganze Zahlen) des absoluten Gliedes,
> also
> 1, -1, 2 und -2
> und macht der Reihe nach mit diesen jeweils
> Polynomdivision,
Hallo,
entweder hat die Angela nur die halbe Wahrheit mitgeteilt, oder Du hast Teile des Mitgeteilten nicht wahrgenommen:
falls (!!!) die Funktion ganzzahlige (!!!) Nullstellen hat, kommen dafür nur die pos. und neg. Teiler des Absolutgliedes infrage.
> VORAUSGESETZT der Koeffizient der höchsten Potenz ist 1.
Ja.
Man setzt die Kandidaten für x ein, guckt ob 0 herauskommt,
macht dann eine Polynomdivision durch (x-Nullstelle)
und errechnet nun die weiteren Nullstellen der Funktion, indem man die N Nullstellen des Ergebnisses der Division bestimmt.
Aber wenn es keine ganzzahligen Nullstellen gibt, kommt man so nicht weiter.
Dann bestimmt man sie graphisch oder mit irgendeinem Näherungsverfahren.
Fpr ganzrationale Funktionen vom Grad 3 gibt es sogar Lösungsformeln - die sind aber etwas ungenießbar.
> höchste Potenz ist [mm]x^3[/mm]
> ihr Koeffizient 1
> Guten Abend,
>
> ich habe mit allen vieren
> / (x-1)=
> / (x+1)=
> / (x-2)=
> / (x+2)=
> Polynomdivision gemacht,
besser hättest Du erstmal f(1), f(-2), f(2), f(.2) ausgerechnet und so geschaut
, ob es Nullstellen sind.
> mit dem Ergebnis:
> Keine der "errateten" Nullstellen ist Nullstelle, weil
> immer ein Rest bleibt.
> Und nu?
Zja, da gibt's entweder keine Nullstelle oder die Nullstellen sind nicht ganzzahlig.
>
> Unvorstellbar, dass diese kubische Fkt. KEINE Nullst. haben
> soll.
Stimmt:
f(0)=-2,
f(2)=10,
also muß es dazwischen eine Nullstelle geben.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Fr 04.04.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Sabine,
da du von 'vier Teilaufgaben' sprichst, gehe ich mal davon aus, dass es sich um eine Prüfungsaufgabe für das Abitur oder zumindest eine entsprechende Musteraufgabe handelt. Wenn dem so ist, dann kann man mit Sicherheit konstatieren, dass die Nullstellen mit einem grafikfähigen Taschenrechner (GTR) berechnet werden sollen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Sa 05.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Sabine,
> [mm]f(x)=x^3+2x-2[/mm]
> Unvorstellbar, dass diese kubische Fkt. KEINE Nullst. haben soll.
Angela hat dir bereits eine Begründung geliefert, dass deine
Funktion mindestens eine Nullstelle besitzt. Alternativ kan-
nst du dir auch mal dazu folgendes überlegen:
$f$ ist stetig und es gilt:
[mm] $f'(x)=3x^2+2\ge [/mm] 2>0$ für alle [mm] x\in\IR,
[/mm]
wobei folgende Eigenschaft benutzt wurde:
[mm] $x^2\ge [/mm] 0$ für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
Daraus folgt, dass $f$ streng monoton wachsend ist und somit
genau eine Nullstelle besitzt.
Gruß
DieAcht
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