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Forum "Ganzrationale Funktionen" - Nullstelle bestimmen
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Nullstelle bestimmen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:48 Di 03.06.2008
Autor: Lisa_88

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = [mm] x^{3}+4x^{2} [/mm] -10x -16. Zeige, dass K im Intervall (0;4) genau einen Punkt Q mit der x-Achse gemeinsam hat. Berechne den Näherungswert für die Abszisse des Punktes Q mit Hilfe des Newtonschen Näherungsverfahren. (Ergebnis auf zwei Dezimalen gerundet angeben).

Hallo Ihr,
so das Newton-Verfahren ist kein Problem. Die Nullstelle habe ich raus und zwar an der Stelle x= 2,512976051 bzw gerundet dann ja x=2,51. (Ergebnis müsste auch ziemlich sicher stimmen)
So aber nun ist die Frage wie ich zeigen kann, das in diesem Intervall K nur GENAU EINEN Punkt mit der x-Achse gemeinsam hat. Wenn ich den Graphen anschau dann seh ich ja das das  so ist. Wie kann ich das aber beweisen ohne den Graph zu sehen?!
Viele Grüße Lisa

        
Bezug
Nullstelle bestimmen: (Denkfehler meinerseits)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:54 Di 03.06.2008
Autor: ardik

Mein Gedanke war Käse, hatte nicht richtig geschaut.
ardik


Hallo Lisa,

Du könntest mit der Monotonie (für x > 0) argumentieren.

Schöne Grüße,
ardik


Bezug
        
Bezug
Nullstelle bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:15 Di 03.06.2008
Autor: Steffi21

Hallo, deine Funktion 3. Grades hat 3 Nullstellen, deine 1. Nullstelle ist korrekt, berechne die 2. und 3. Nullstelle, ebenso mit dem Newtonverfahren, ändere aber den Startwert, -1,1979... und -5,3150... diese Nullstellen liegen nicht im Intervall, mit einer kleinen Exceltabelle geht das wunderbar,

[a]Datei-Anhang

Steffi


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Nullstelle bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:23 Di 03.06.2008
Autor: Lisa_88

Also ehrlich gesagt glaube ich nicht das die Antwort korrekt ist! Ich wollte nicht die anderen Nullstellen bestimmen! Diese liegen ja auch überhaupt nicht im Intervall (0;4)! Sondern ich wollte wissen wie ich zeige das es im Intervall (0;4) NUR EINE Nullstelle hat! Wie beweise ich das? Das heißt ja auch so in der Aufgabe " Zeige das K.......GENAU EINEN PUNKT mit x-Achse gemeinsam hat..."!
Danke schon mal!

Bezug
                        
Bezug
Nullstelle bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:32 Di 03.06.2008
Autor: ardik

Hallo Lisa_88,

naja, korrekt ist der Beweis schon (wenn man noch erläutert, dass die Funktion höchstens drei Nullstellen haben kann).

Die Aufgabenstellung würde mich allerdings auch veranlassen, nach einem anderen, eleganteren (?) Weg zu suchen.

Man könnte auch mit der Lage der Extrema zusammen mit dem y-Achsenschnittpunkt argumentieren.

Schöne Grüße,
ardik


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Bezug
Nullstelle bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 Di 03.06.2008
Autor: Herby

Hallo Lisa,

bilde mal die 1. Ableitung und beschreibe dann das Funktionsverhalten auf dem genannten Intervall

Liebe Grüße
Herby

Bezug
                                
Bezug
Nullstelle bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Di 03.06.2008
Autor: Lisa_88

Also f´(x)= 3x²+4x-10
f`(0) = -10
f`(1) = -3
f`(2) = 10
f`(3) = 29
f`(4) = 54

So, das müsste jetzt heißen das die Ableitung monoton steigend ist! Was heißt das jetzt für die Funktion bzw die Fragestellung warum es NUR EINE Nullstelle im Intervall (0;4) hat?! Ich verstehe das irgendwie gerade nicht!


Bezug
                                        
Bezug
Nullstelle bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:01 Di 03.06.2008
Autor: Herby

Hallo Lisa,

> Also f´(x)= 3x²+4x-10
>  f'(0) = -10
>  f'(1) = -3
>  f'(2) = 10
>  f'(3) = 29
>  f'(4) = 54
>  
> So, das müsste jetzt heißen das die Ableitung monoton
> steigend ist! Was heißt das jetzt für die Funktion bzw die
> Fragestellung warum es NUR EINE Nullstelle im Intervall
> (0;4) hat?! Ich verstehe das irgendwie gerade nicht!

naja, um eine weitere Nullstelle zu erhalten, müsste der Graph im Intervall wieder fallen - tut er aber nicht (das beweist deine Ableitung). Daraus folgt: Keine weitere Nullstelle!

Liebe Grüße
Herby

Bezug
                                                
Bezug
Nullstelle bestimmen: Das reicht nicht ganz...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:32 Di 03.06.2008
Autor: ardik

Hallo Ihr,

> Also $f'(x)= [mm] 3x^2+4x-10 [/mm] $

Zunächst: Statt der 4 muss da eine 8 stehen.
Aber das ändert am Prinzip nicht viel.

> > So, das müsste jetzt heißen das die Ableitung monoton
> > steigend ist! Was heißt das jetzt für die Funktion

Erstmal nur, dass der Graph der Ausgangsfunktion im Intervall eine Linkskurve macht...

> > Fragestellung warum es NUR EINE Nullstelle im Intervall
> > (0;4) hat?! Ich verstehe das irgendwie gerade nicht!
>  
> naja, um eine weitere Nullstelle zu erhalten, müsste der
> Graph im Intervall wieder fallen - tut er aber nicht

[so ähnlich sah mein oben erwähnter Denkfehler aus...]

Eben doch, nämlich links von ca. $x = 0,9$ (bzw. 1,3 mit der fehlerhaften Ableitung),

> (das beweist deine Ableitung).

;-)

wo also ein Extremum liegt.
Wegen der rechts davon positiven und links davon negativen Ableitung ein Minimum.
Es könnte also links davon noch eine Nullstelle liegen.
Wenn man nun aber noch berücksichtigt, dass der Graph die y-Achse bei $f(0)=-16$ schneidet (und kein weiteres Extremum rechts von der y-Achse liegt), wird klar, dass die nächste Nullstelle links von der y-Achse liegen muss.

Ach ja: Stetig ist diese Funktion ja sowieso...

Schöne Grüße
 ardik

Bezug
                                                
Bezug
Nullstelle bestimmen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 22:34 Di 03.06.2008
Autor: ardik

siehe meine gesonderte Mitteilung.
(war zu blöd, das System gleich sinnvoll zu nutzen.)

Bezug
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