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| Aufgabe | | Zeigen Sie : Ist p ein Polynom mit reellen Koeffizienten und die Zahl z=x+iy c e C (C=komplex) eine nullstelle von p , dann ist auch z* =x-iy eine Nullstelle von p . |
So ich w´weiß nicht wie ich voran gehen soll , und warum ist z*=x-iy auch eine nullstelle ?
Ist der Beweis ,dass ich ein Polynomfunktionkonstruieren soll ,sodass für z=x+iy und für z*=x-iy eine nullstelle von der P(z) ist ?
könnt ihr mir die paar wichtige Schritte zeigen ,damit ich es auch schnalle und weiß wie es dann weiter geht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 So 06.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
achte auf die reelen Koeffizienten und wenn du die Nullstellen [mm] z_i [/mm] hast, dann kannst du das Polynom als [mm] :r*\produkt_{i=1}^{n}(z-z_i) [/mm] schreiben.
und [mm] z*\overline{z}=x^2+y^2=reell.
[/mm]
Gruss leduart
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So ,ich hab das polynom ,das wäre in meinen fall
p(z)=z²+z
p(z)=0 ==========> z(z-z)=0 nun kann ich für z=x+iy einsetzen
bekomme : (x+iy) ( (x+iy) -(x-iy)) = (x+iy) ( 0)= 0
und wenn ich für z=x-iy einsetze
(x-iy)((x-iy)-(x-iy))=(x-iy) (x-x-iy+iy)=(x-iy)(x-x-iy+iy)=0
das ist aber kein beweis ,nur eine Wahre aussage :)
ich soll es ja beweisen dass wenn z=x+iy nullstelle ist ,dann ich auch z=x-iy auch eine nullstelle ,
das problem ich komm nicht weiter ...????oder reicht das für die aufgabe ????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 So 06.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Nein, ein Beispiel reicht sicher nicht, im nächsten könnt es ja falsch sein.
2. dazu ist deine Rechnung falsch!
> So ,ich hab das polynom ,das wäre in meinen fall
>
> p(z)=z²+z
>
> p(z)=0 ==========> z(z-z)=0 nun kann ich für
Der Pfeil ist zwar lang, aber er stimmt nicht!!
[mm] z^2+z=z(z+1) [/mm] hat 2 reelle Lösungen z=0 und z=-1
und mit 0+0*i ist natürlich auch 0-0*i ne Lösung.
Du hast meinen Tip überhaupt nicht benutzt.
wenn das polynom etwa 5*(z-z1)*(z-z2)*(z-z3) wäre, und z1=a+ib, z2=c+id, z3=e+if, und c+id nicht gleich a-ib wäre und e+if=e könnte man dann reelle Koeffizienten haben?
probier es aus!
Dann musst du deine Erkenntnisse allgemein formulieren also nicht für ein Polynom 3. Grades, sondern eines n-ten Grades.
auch 100 Beispiele genügen nicht!
( wenn dir jemand hundert quadratische Gleichungen zeigt, die ganzzahlige Lösungen haben, hat er damit doch nicht bewiesen, dass alle quadr. Gl. ganzzahlige Lösungen haben!
Gruss leduart.
z=x+iy
> einsetzen
>
> bekomme : (x+iy) ( (x+iy) -(x-iy)) = (x+iy) ( 0)= 0
>
> und wenn ich für z=x-iy einsetze
>
>
> (x-iy)((x-iy)-(x-iy))=(x-iy)
> (x-x-iy+iy)=(x-iy)(x-x-iy+iy)=0
>
> das ist aber kein beweis ,nur eine Wahre aussage :)
>
>
> ich soll es ja beweisen dass wenn z=x+iy nullstelle ist
> ,dann ich auch z=x-iy auch eine nullstelle ,
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> das problem ich komm nicht weiter ...????oder reicht das
> für die aufgabe ????
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5*(z-z1)*(z-z2)*(z-z3) wäre, und z1=a+ib, z2=c+id, z3=e+if, und c+id nicht gleich a-ib wäre und e+if=e
was wäre in dem fall z?ich denk mal ein wert ,und der gegenwert ,würde ich die nullstellen bekommen ,das ist mir klar ...
was hat die formel die du mir angeben hast mit nullstelllen zu tuen ,ich kenn das nur als summengleichung ...?
$ [mm] :r\cdot{}\produkt_{i=1}^{n}(z-z_i) [/mm] $= r*(z-z1)*(z-z2)*...(z-zn-1)*(z-zn)
Sei z1=x+iy ,
=> r*(z-(x+iy))*.....(z-zn)
dann folgt aus der gleichung z=x+iy ist die nullstelle
denn : r*( (x+iy)-(x+iy))*.....( (x+iy)-zn) ,da x+iy-x-iy=0
P(z)=r*0*...((x+iy)-zn)=0
Behauptung: wenn z=x+iy eine nullstelle ist ,dann ist auch z*=x-iy
da wir für z=x+iy eine nullstelle bewiesen haben ,zeigen wir das für z* wir
setzen für z1=x-iy
r*(z-(x-iy))*.....(z-zn)
z-(x-iy)=0 => /für z*=x-iy
(x-iy)-(x-iy)=0 ,also gilt die behauptung ???
hab ich das bewiesen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:02 Mo 07.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du gehst völlig falsch vor, und verwechselst die allgemeine Darstellung z=x+iy mit einer Nullstelle.
also formulier ich dei Beh. für dich um:
Wenn ein Polynom
$p(z)= [mm] a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+.....a_1*z+a_0$
[/mm]
mit nur reellen koeffizienten [mm] a_i [/mm] eine Nullstelle z1=a+ib hat, muss es auch eine z2=a-ib haben.
Das sollst du beweisen!
Wenn man die n Nullstellen des Polynoms kennt kann man dasselbe Polynom hinschreiben als:
[mm] p(z)=a_n)*(z-z1)*(z-z2)*....*(z-zn)
[/mm]
ist die das erstmal klar.
stat z1,z2 usw für die Nst kann man jetzt auch schreiben :
z1=a1+ib1; z2=a2+ib2 usw.
Die Behauptung ist nun, entweder ist b=0 ,die Nullstelle also reell, oder zu jedem [mm] a_k+ib_k [/mm] als Nullstelle gibt es die konjungiert komplexe dazu.
Was du hingeschrieben hast verwechselt das allgemeine z und die Nullstellen des Polynoms.
Gruss leduart.
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Diese Aufgabe lässt sich fast nur einfach lösen, wenn man den Beweis mal gesehen hat, und wie der erste Mensch drauf gekommen ist, weiß ich auch nicht.
Stelle dir vor, dass du ein bestimmtes komplexes z gefunden hast, das Nullstelle von P ist. Dann ist
[mm] P(z)=\summe_{i=0}^{n}a_{i}z^{i}=0 [/mm] mit reellen [mm] a_{i}.
[/mm]
Der folgende Querstrich soll nun bedeuten, dass man von der angegebenen Zahl das konjugiert Komplexe nimmt.
Es ist nun [mm] \overline{P(z)}=\overline{\summe_{i=0}^{n}a_{i}z^{i}}=\summe_{i=0}^{n}\overline{a_{i}z^{i}}
[/mm]
[mm] =\overline{0}=0
[/mm]
Nun ist aber [mm] \summe_{i=0}^{n}\overline{a_{i}z^{i}}=\summe_{i=0}^{n}a_{i}\overline{z^{i}} [/mm] (da die [mm] a_{i} [/mm] reell sind) = [mm] \summe_{i=0}^{n}a_{i}(\overline{z})^{i}=P(\overline{z})
[/mm]
Und damit hast du, dass [mm] P(\overline{z})=0 [/mm] ist.
Wären die [mm] a_{i} [/mm] nicht reell, müsstest du sie mitkonjugieren und hättest ein anderes Polynom.
Benutzt wurden die Distributivgesetze der Konjugation, die dir bekannt sein sollten oder die du beweisen müsstest.
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