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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Nullstellen- Komplexes Polynom
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Nullstellen- Komplexes Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:32 Di 02.02.2010
Autor: wong_fei_hung

Aufgabe
geg: p(z)=z³+(2-3i)z²+(1+2i)z+24-3i

a) bestimme real- und imaginärteil von p(z)
b) für welche [mm] y\in\IR [/mm] gilt p(iy)=0
c) bestimme alle nullstellen von p(z) in der form z= x+iy

für a) habe ich
Re(p(iy)) = -2y²-2y+24      Im(p(iy)) = -y³+3y²+y-3


muss ich bei b) nur den Imaginärteil betrachten ? würd ich jetzt mal aus der reihenfolge der aufgabenstellung folgern...
(lösung wäre dann ja y=3)
wenn ja wieso ? (hab ich da ein verständnisproblem,denk ich)

und wie geh ich an c) ran ?  
betrachte ich da auch wieder nur den Im teil und mach ne einfache Nullstellen berechnung (erste NS probieren , dann pq- bzw abc-formel) ?

danke & greez





        
Bezug
Nullstellen- Komplexes Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 Di 02.02.2010
Autor: leduart

Hallo
a) stze z=x+iy ein (x,y reell) rechne alls Potenzen aus. schreib vom Ergebnis den Realteil und dem Im auf. Genau das steht in der Aufgabe.
b) hast du soweit richtig., aber p(iy)=0 nur wenn Real UND Imaginärteil 0 ist.
c) benutze a) und was ich bei b gesagt habe.
Gruss leduart

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Nullstellen- Komplexes Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:32 Di 02.02.2010
Autor: wong_fei_hung

bei a) hab nochmal aufs aufagenblatt geschaut
die korrekte aufgabenstellung lautet so :

a) bestimmen sie für jede rein imaginäre zahl z = iy den real und imaginär teil von p(iy)

Bezug
                        
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Nullstellen- Komplexes Polynom: einsetzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 Di 02.02.2010
Autor: Roadrunner

Hallo wongg_fei_hung!


Dann setze $z \ := \ i*y$ in die Funktionsvorschrift ein und fasse zusammen bzw. sortiere nach Real- und Imaginärteil.


Gruß vom
Roadrunner


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Nullstellen- Komplexes Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:37 Di 02.02.2010
Autor: fred97


> bei a) hab nochmal aufs aufagenblatt geschaut
>  die korrekte aufgabenstellung lautet so :
>  
> a) bestimmen sie für jede rein imaginäre zahl z = iy den
> real und imaginär teil von p(iy)


Dann ist das was Du oben ausgerechnet hast richtig !

FRED

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Nullstellen- Komplexes Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 Di 02.02.2010
Autor: fred97

Zu b) Löse das System

               $0 = [mm] -2y^2-2y+24$ [/mm]  ,     $0 = [mm] -y^3+3y^2+y-3$ [/mm]


FRED

Bezug
                
Bezug
Nullstellen- Komplexes Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 Di 02.02.2010
Autor: wong_fei_hung

so,

hab das gleichungssystem bei b) gelöst und bin auf

[mm] y_{1}= [/mm] 3 gekommen. danach gings mit dem horner schema weiter zu [mm] y_{2,3} [/mm] = [mm] 1\pm \wurzel{10} [/mm]  

bei c) bin ich ähnlich vorgegangen
( mit dem kompletten p(z)= z³+(2-3i)z²+(1+2i)z+24-3i )

die erste NS habe ich von b) [mm] y_{1}=3 [/mm] übernommen,da dort auch nach p(...)= 0 gefragt wurde
-> also [mm] z_{1}=3i [/mm]

mit dem horner schema und pq formel ergaben sich dann

[mm] z_{2,3} [/mm] = -1 [mm] \pm \wurzel{8i} [/mm]

Ist das korrekt ?

Bezug
                        
Bezug
Nullstellen- Komplexes Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 Di 02.02.2010
Autor: fred97


> so,
>  
> hab das gleichungssystem bei b) gelöst und bin auf
>
> [mm]y_{1}=[/mm] 3 gekommen.

Richtig


> danach gings mit dem horner schema
> weiter zu [mm]y_{2,3}[/mm] = [mm]1\pm \wurzel{10}[/mm]  



?????????????????

    Du hast

        (*)       $ 0 = [mm] -2y^2-2y+24 [/mm] $  und   $ 0 = [mm] -y^3+3y^2+y-3 [/mm] $

Die erste Gleichung hat die Lösungen [mm] y_1 [/mm] =3 und [mm] y_2 [/mm] =-4. Aber nur [mm] y_1 [/mm] iat auch Lösung der 2. Gleichung. Somit hat das System (*) nur die Lösung [mm] y_1 [/mm]

>
> bei c) bin ich ähnlich vorgegangen
> ( mit dem kompletten p(z)= z³+(2-3i)z²+(1+2i)z+24-3i )
>  
> die erste NS habe ich von b) [mm]y_{1}=3[/mm] übernommen,da dort
> auch nach p(...)= 0 gefragt wurde
>  -> also [mm]z_{1}=3i[/mm]

>
> mit dem horner schema und pq formel ergaben sich dann
>  
> [mm]z_{2,3}[/mm] = -1 [mm]\pm \wurzel{8i}[/mm]
>  
> Ist das korrekt ?

Rechne doch vor. Ich habe keine Lust das nachzurechnen !

FRED

Bezug
                                
Bezug
Nullstellen- Komplexes Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:29 Di 02.02.2010
Autor: wong_fei_hung

okay bei b) hatte ich einen denkfehler was die lösungen angeht

c) durch "ganz scharfes hinsehen" :) oder von teil b)
ist z1 = 3i

p(z) = z³+(2-3i)z²+(1+2i)z+24-3i

=> horner s.

       1   2-3i   1+2i    24-3i
y=3i   0     3i     6i   -24+3i
       1   2      1+8i        0  => z² + 2z + 1+8i

=> pq formel

[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{2}{2} \pm \wurzel{1-(1+8i)} [/mm]

        = -1 [mm] \pm \wurzel{8i} [/mm] = -1 [mm] \pm 2\wurzel{2i} [/mm]



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Bezug
Nullstellen- Komplexes Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:33 Di 02.02.2010
Autor: fred97

Alles richtig

FRED

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Nullstellen- Komplexes Polynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:41 Di 02.02.2010
Autor: wong_fei_hung

ach cool - das hat ja fast ein bischen spass gemacht... ^^
DANKE für die mühe !!

Bezug
                                                        
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Nullstellen- Komplexes Polynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:47 Di 02.02.2010
Autor: fred97


> ach cool - das hat ja fast ein bischen spass gemacht... ^^


Warum nur ein "bischen" ?

FRED


> DANKE für die mühe !!


Bezug
                                                                
Bezug
Nullstellen- Komplexes Polynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:55 Di 02.02.2010
Autor: wong_fei_hung

weil es mathe ist ;)

Bezug
                                        
Bezug
Nullstellen- Komplexes Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:30 Di 02.02.2010
Autor: leduart

Hallo
Du musst [mm] \wurzel{i} [/mm] noch auflösen um dein Resultat als a+ib zu schreiben.
man schreibt eigentlich nich [mm] \pm \wurzel{i} [/mm] sondern [mm] \wurzel{i} [/mm] und jede kompexe Zahl hat 2 2te Wurzeln.
Gruss leduart

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