Nullstellen- Komplexes polynom < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | geg:
komplexes Polynom P(z) = z³ - w
Punkt w = 1 + [mm] i\wurzel{3}
[/mm]
1) bestimmten sie alle nullstellen
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| Aufgabe 2 | welche teilmenge von [mm] \IC [/mm] sind durch |z|=2 sowie |z-z1|=|z-z2|
definiert ? |
hy - super forum hier ;)
wie geh ich da am besten ran ?
mit dem raten klappts da nicht so und kann ich den punkt w erst am ende meiner rechnungen einsetzen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
DANKE
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Hallo wong_fei_hung und erst einmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> geg:
> komplexes Polynom P(z) = [mm] z^3- [/mm] w
> Punkt w = 1 + [mm]i\wurzel{3}[/mm]
>
> 1) bestimmten sie alle nullstellen
>
>
> welche teilmenge von [mm]\IC[/mm] sind durch |z|=2 sowie
> |z-z1|=|z-z2|
> definiert ?
> hy - super forum hier ;)
>
> wie geh ich da am besten ran ?
> mit dem raten klappts da nicht so und kann ich den punkt w
> erst am ende meiner rechnungen einsetzen ?
Raten ist auch nicht Sinn der Sache, verwende besser mal die  Moivre-Formel
Du hast, wenn du die Gleichung umstellst ja die Lösungen der Gleichung
[mm] $z^3=w=1+\sqrt{3}i$
[/mm]
zu bestimmen.
Nun brauchst du den Betrag von [mm] $z^3$, [/mm] also [mm] $\left|z^3\right|$ [/mm] und das Argument [mm] $\varphi$ [/mm] von [mm] $z^3$.
[/mm]
Wie berechnet man den Betrag einer komplexen Zahl?
Weiter:
Für eine komplexe Zahl [mm] $\xi=\alpha+\beta\cdot{}i$ [/mm] mit [mm] $\alpha>0$ [/mm] kannst du das über die Formel [mm] $\varphi=\arctan\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)$ [/mm] berechnen.
Hier also [mm] $\operatorname{arg}\left(z^3\right)=\varphi=\arctan(\sqrt{3})$
[/mm]
Dieser Wert ist wohlbekannt ...
Verwende diese Hinweise und den obigen link zur Moivreformel, dann bekommst du die 3 Lösungen ...
Für die andere Aufgabe bedenke, dass für [mm] $w\in\IR^+_0$ [/mm] doch [mm] $|z-z_0|=w$ [/mm] die Menge aller [mm] $z\in\IC$ [/mm] bezeichnet, die von [mm] $z_0$ [/mm] einen Abstand von w haben.
Damit ist $|z|=2$ klar, oder?
Alternativ setze $z=x+iy$ mal ein und rechne es geradeheraus aus.
Welches geometrische Gebilde kommt heraus?
Bei der anderen hilft die geometrische Abstandsüberlegung schneller weiter als Einsetzen und Ausrechnen.
Gesucht ist die Menge aller [mm] $z\in\IC$, [/mm] die von [mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$ [/mm] denselben Abstand haben.
Welche (Punkt-)Menge kann das wohl sein ... ?
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> DANKE
Gruß
schachuzipus
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Hy, ihr seit ja schnell hier. habs leider erst heut früh gesehen...
erstmal danke für die ausführliche antwort:
bei der aufg 1 hab ich nun
z³=8(cos [mm] \pi [/mm] + i sin [mm] \pi)= 8e^{3i\pi}
[/mm]
ist das korrekt ? und wie mach ich dann weiter ?
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Hallo nochmal,
stelle bitte Anschlussfragen auch als Fragen und nicht als Mitteilung.
Das rückt sie durch das rote Köstchen deutlicher in den Vordergrund ...
> Hy, ihr seit ja schnell hier. habs leider erst heut früh
> gesehen...
>
> erstmal danke für die ausführliche antwort:
>
> bei der aufg 1 hab ich nun
>
> z³=8(cos [mm]\pi[/mm] + i sin [mm]\pi)= 8e^{3i\pi}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist doch [mm] $\left|z^3\right|=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{4}=2$
[/mm]
Und [mm] $arg\left(z^3\right)=\arctan(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}$
[/mm]
Damit [mm] $z^3=2\cdot{}\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\cdot{}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$
[/mm]
>
> ist das korrekt ?
Nein
> und wie mach ich dann weiter ?
Schaue dir den obigen Link an, da steht ein Rezept, wie man die 3 Lösungen [mm] $z_0,z_1,z_2$ [/mm] berechnet ...
Gruß
schachuzipus
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sry hab das beispiel bei der moivre formel nicht gesehen. danke hab jetzt die 3 nullstellen.
[mm] z_{0} [/mm] = [mm] 2^{1/3} [/mm] (cos 1/9 [mm] \pi [/mm] + i sin 1/9 [mm] \pi)
[/mm]
[mm] z_{1} [/mm] = [mm] 2^{1/3} [/mm] (cos 7/9 [mm] \pi [/mm] + i sin 7/9 [mm] \pi)
[/mm]
[mm] z_{2} [/mm] = [mm] 2^{1/3} [/mm] (cos 13/9 [mm] \pi [/mm] + i sin 13/9 [mm] \pi)
[/mm]
für aufgabe 2 hab ich für |z| = 2 die kreisgleichung
x²-y² = 4 als kreis um M(0,0) mit radius = 2
d.h. die erste teilmenge sind die punkte auf diesem kreis !?
mit dem anderen teil der 2. aufg komm ich nicht klar.
falls meine nullstellen stimmen, hab ich da ein paar fragen.
1) ich hab mir die NS mal ausgerechnet und die liegen alle auf ca 1,26 + i 0.0xx => wieso kommt bei einer nullstelle trotzdem was für i(Im-Achse) raus ?
2) wenn die menge den gleichen abstand haben soll ist das doch einfach die "halbe strecke" zwischen z1 und z2 ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 27.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Aufgabe | Bei der anderen hilft die geometrische Abstandsüberlegung schneller weiter als Einsetzen und Ausrechnen.
Gesucht ist die Menge aller $ [mm] z\in\IC [/mm] $, die von $ [mm] z_1 [/mm] $ und $ [mm] z_2 [/mm] $ denselben Abstand haben.
Welche (Punkt-)Menge kann das wohl sein ... ? |
könntest du diesen punkt bitte nochmal erklären ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Mo 01.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Bei der anderen hilft die geometrische Abstandsüberlegung
> schneller weiter als Einsetzen und Ausrechnen.
>
> Gesucht ist die Menge aller [mm]z\in\IC [/mm], die von [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm]
> denselben Abstand haben.
>
> Welche (Punkt-)Menge kann das wohl sein ... ?
> könntest du diesen punkt bitte nochmal erklären ?
Wir malen:
1. Zeichne in die komplexe Ebene die Punkte [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2
[/mm]
2. Berechne den Mittelpunkt [mm] z_m [/mm] der Strecke von [mm] z_1 [/mm] nach [mm] z_2
[/mm]
3. Sei g die Gerade durch [mm] z_m, [/mm] die senkkrecht auf der Geraden durch [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] steht
Hilft das ?
FRED
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ja wunderbar, das mit der senkrechten zur gerade zwischen z1 und z2 hat mir super geholfen . DANKE !!
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sry , hab mitteilung als frage gestellt.
-closed-
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