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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Mo 10.07.2006 | | Autor: | Thome |
| Aufgabe | Es ist die Funktion f(x) = [mm] \bruch{x²+1}{x-3}+1 [/mm] zu diskutieren!
a) Berechnen Sie die Nullstellen
b) Berechnen Sie das Extremum bei etwa -0,5
c) An welche Gerade(n) nähert sich die Funktion für x gegen [mm] \pm [/mm] unendlich an? |
Hi,
brauche dringend hilfe wenn es geht heute abend noch  währe echt super nett!
Hier mein Lösungsansatz:
a) gleichung Nullsetzen x²+1= [mm] \bruch{-1}{x-3}?? [/mm] hier weiß ich nicht weiter kann mir das jemand auflösen??
b) f'(x) = [mm] \bruch{2x*(x-3)-x²+1}{(x-3)²}
[/mm]
fällt beim Nullsetzen der Nenner weg??
und wie gerechne ich das Extremum an einer bestimmten Stelle??
c) An die Polgerade und an die Asymptote. Ist das so richtig??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Mo 10.07.2006 | | Autor: | MvsM |
Hi Thome,
a)
Wenn du die Gleichung $ [mm] \bruch{x²+1}{x-3}+1 [/mm] $ Null setzt, bringst du zuerst die -1 rüber, dann erhälst du:
-1 = $ [mm] \bruch{x²+1}{x-3} [/mm] $
Jetzt multiplizierst du mit dem Nenner und erhälst:
-1 * (x-3) = x² + 1
-x + 3 = x² +1
Jetzt bringst du alles auf eine Seite
0 = x² + x - 2
Diese Gleichung kannst du lösen
x1/2 = -p/2 +/- Wurzel aus p²/4 - q
= -1/2 +/- Wurzel aus 1/4 + 8/4
= -1/2 +/- Wurzel aus 9/4
= -1/2 +/- 3/2
Das bedeutet
x1=-2
X2=1
Das sind die Nullstellen deiner Funktion.
b)
Ja, wenn du diese Funktion Null setzt, dann fällt der Nenner weg.
Was mit der Fragestellung das Extremum bei -0,5 gemeint ist, leuchtet mir nicht ganz ein. Ich würde die Extremstellen ganz normal berechnen und dann schauen ob davon eine bei etwa -0,5 liegt. Du könntest auch einfach in f'(x) die -0,5 einsetzen, dann hättest du zwar den y - Wert an der Stelle, aber ob das dann ein Extrempunkt ist, wage ich noch zu bezweifeln.
c)
Du musst hier eine Grenzwertbildung machen, falls du nicht weißt wie das geht, setze einfach mal ganz hohe Zahlen für x in deinen Taschenrechner ein und schaue woran sie sich annähern.
Dann wirst du erkennen, dass sie sich an die Gerade y = 2 annähern.
Für diesen Term kannst du es auch einfach ablesen in dem du die höchste Potenz von x, die im Zähler ist, durch die niedrigste im Nenner teilst, also 2/1 = 2.
Außerdem hat sie auch noch eine senkrechte Asymptote, da die Funktion für x=3 nicht definiert ist, daher wird sie sich also auch hier noch annähern.
MfG
MvsM
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Mo 10.07.2006 | | Autor: | Thome |
hi,
danke schmal!!
zu b) also ich habe für die Extrema 5,28284 und 0,1716 für x raus
laut Rechner sollen aber 6,16228 und 13,3246 für x rauskommen könnte das nochmal jemand nachrechnen bitte.
und noch eine Frage wie verhält sich die Funktion um die Polstelle herum??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mo 10.07.2006 | | Autor: | MvsM |
Beim Nullsetzen von f'(x) ist
0 = 2x * (x-3) - x² + 1
0 = 2x² - 6x - x² + 1
0 = x² - 6x + 1
Die Berechnung erfolgt wie bei den Nullstellen
x1=5,8284
x2=0,1715
Entweder du hast dich beim Eingeben in den Taschenrechner vertippt, oder aber die Ableitung falsch gebildet, die habe ich jetzt nicht noch einmal überprüft.
Wie Zwerglein herausgefunden hat, lag es also an der Ableitung.
An der Polstelle, also x=3, geh die Funktion entweder gegen + oder gegen - unendlich.
In dem Fall geht die gegen - unendlich, denn an den Grenzen, also bei 2,9 hat sie den Wert -93,1 und bei 3,1 den Wert 107,1, damit geht die Funktion also links von 3 gegen - unendlich und kommt rechts von 3 von + unendlich. Damit dürften jetzt alle Fragen geklärt sein.
Eine schiefe Asymptote hat die Funktion auch noch, aber dazu hat Zwerglein schon was geschrieben.
MfG
MvsM
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Hi, Thome,
> Es ist die Funktion f(x) = [mm]\bruch{x²+1}{x-3}+1[/mm] zu
> diskutieren!
> b) Berechnen Sie das Extremum bei etwa -0,5
>
> c) An welche Gerade(n) nähert sich die Funktion für x gegen
> [mm]\pm[/mm] unendlich an?
> b) f'(x) = [mm]\bruch{2x*(x-3)-x²+1}{(x-3)²}[/mm]
> fällt beim Nullsetzen der Nenner weg??
Da hättest Du eine KLammer setzen müssen; jetzt hast Du einen Vorzeichenfehler gemacht!
Richtig wäre: f'(x) = [mm] \bruch{2x*(x-3)-\red{(}x²+1\red{)}}{(x-3)²}
[/mm]
Ach ja: Und beim Nullsetzen genügt der Zähler!
> c) An die Polgerade und an die Asymptote. Ist das so
> richtig??
Für x [mm] \to \pm \infty [/mm] ist nur die schiefe Asymptote gemeint.
Da musst Du noch eine Polynomdivision machen, nämlich
[mm] (x^{2}+1) [/mm] : (x-3),
darfst aber anschließend nicht vergessen, noch +1 zu addieren!
mfG!
Zwerglein
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