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| Aufgabe | | Geben Sie die Summe der (ggfs. komplxen)Nullstellen des Polynoms [mm] x^6-36x^5+505x^4-3480x^3+12139x^2-19524x+10395 [/mm] an, wobei jede Nullstelle gemäß ihrer Vielfachheit ggfs. mehrfach berücksichtigt wird. |
Hi zusammen!
Für obige Aufgabe gibt es doch bestimmt einen ganz einfachen Trick, wie man die Anzahl bestimmen kann, oder?
Vielen Dank schon mal...
Viele Grüße
Noki
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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> Geben Sie die Summe der (ggfs. komplxen)Nullstellen des
> Polynoms [mm]x^6-36x^5+505x^4-3480x^3+12139x^2-19524x+10395[/mm] an,
> wobei jede Nullstelle gemäß ihrer Vielfachheit ggfs.
> mehrfach berücksichtigt wird.
> Hi zusammen!
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> Für obige Aufgabe gibt es doch bestimmt einen ganz
> einfachen Trick, wie man die Anzahl bestimmen kann, oder?
Hallo,
Polynome zerfallen ja über [mm] \IC [/mm] in Linearfaktoren.
Schauen wir uns mal dieses an: p(x)=(x-7)(x-5)(x-3).
Rechne das mal aus.
Was hat die "Zahl ohne x" mit den Nullstellen zu tun? Und vor welcher Potenz summieren sich die Nullstellen?
Wenn Du 'ne Idee hast, probier's mal mit einem Polynom vom Grad 4.
Gruß v. Angela
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Hi!
Danke für die Antwort...sofern es sich um reelle Nullstellen handelt, ist mir klar, dass die Anzahl immer der höchsten Potenz entspricht. Falls dann auch noch komplexe Nullstellen dazu kommen, wird die Zahl quadriert...Woran sehe ich aber, ob mein Polynom komplexe Nullstellen enthält oder nicht?
Viele Grüße
Noki
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> Hi!
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> Danke für die Antwort...sofern es sich um reelle
> Nullstellen handelt, ist mir klar, dass die Anzahl immer
> der höchsten Potenz entspricht. Falls dann auch noch
> komplexe Nullstellen dazu kommen, wird die Zahl
> quadriert...Woran sehe ich aber, ob mein Polynom komplexe
> Nullstellen enthält oder nicht?
Hallo,
nein, das hat nichts mit der höchsten Potenz zu tun, sondern mit der zweithöchsten. Auf das Vorzeichen muß man auch noch achten.
Dein Polynom zerfällt über [mm] \IC [/mm] in Linearfaktoren.
Wenn Du ein Polynom mit Koeffizienten aus [mm] \IR [/mm] hast, treten die komplexen Nullstellen immer in konjugiert komplexen Paaren auf, und so kommt dann bei der Summation der Nullstellen kein i mehr vor. Die heben sich weg.
Gruß v. Angela
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Hi!
Hmmm...irgendetwas scheint mir da glaub ich gar nicht so klar zu sein :-(
Wenn ich jetzt das Beispiel nehme von oben (x-7)(x-5)(x-3), dann habe ich ja drei Nullstellen - bei 7,5,3...wenn ich den Term jetzt ausmultipliziere würde ich [mm] x^3-15x^2+71x-105 [/mm] erhalten...damit wäre der höchste Exponent drei...Wieso ist denn jetzt der zweithöchste entscheidend? Und wie ist das mit dem Vorzeichen gemeint?
Viele Grüße
Noki
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> Hmmm...irgendetwas scheint mir da glaub ich gar nicht so
> klar zu sein :-(
Hallo,
das scheint eher ein Problem mit der deutschen Sprache als eines mit der Mathematik zu sein.
Die Aufgabe handelt von der Summe der Nullstellen (also alle Nullstellen aufaddiert), nicht etwa von der Anzahl der Nullstellen.
Letztere kennt man doch, sofern man komplexe Nullstellen zuläßt.
Gruß v. Angela
> Wenn ich jetzt das Beispiel nehme von oben
> (x-7)(x-5)(x-3), dann habe ich ja drei Nullstellen - bei
> 7,5,3...wenn ich den Term jetzt ausmultipliziere würde ich
> [mm]x^3-15x^2+71x-105[/mm] erhalten...damit wäre der höchste
> Exponent drei...Wieso ist denn jetzt der zweithöchste
> entscheidend? Und wie ist das mit dem Vorzeichen gemeint?
>
> Viele Grüße
> Noki
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