www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Funktionen" - Nullstellen Polynom
Nullstellen Polynom < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Nullstellen Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:09 Mi 20.07.2011
Autor: kamaleonti

Aufgabe
Exakte Nullstellen von [mm] x^3-x^2-2x+1. [/mm]


Liebe Forengemeinde,

ich suche die exakten Nullstellen von diesem Polynom (und habe gerade keine Lust, diese zu Fuß mit Cardano zu berechnen ;-)). Die gerundeten Nullstellen sind [mm] x_1\approx1.801, x_2\approx0.445, x_3\approx-1.247 [/mm]

Es ist mir leider nicht gelungen, Wolframalpha dazu zu überreden, mir die reellen Nullstellen in einer vernünftigen Form exakt auszugeben. Weiß jemand ein Tool (idealerweise online), das mir hier den Rechenaufwand ersparen kann? Mir würden auch die exakten Nullstellen genügen.

(Hintergrund: Ich versuche gerade eine explizite Formel für die rekursive Folge [mm] f_{n}=f_{n-1}+2f_{n-2}-f_{n-3} [/mm] mit [mm] f_0=f_1=0, f_2=1 [/mm] zu finden.)

Schonmal vielen Dank!

LG

        
Bezug
Nullstellen Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Mi 20.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Exakte Nullstellen von [mm]x^3-x^2-2x+1.[/mm]
>  
> Liebe Forengemeinde,
>  
> ich suche die exakten Nullstellen von diesem Polynom (und
> habe gerade keine Lust, diese zu Fuß mit Cardano zu
> berechnen ;-)). Die gerundeten Nullstellen sind
> [mm]x_1\approx1.801, x_2\approx0.445, x_3\approx-1.247[/mm]
>  
> Es ist mir leider nicht gelungen, Wolframalpha dazu zu
> überreden, mir die reellen Nullstellen in einer
> vernünftigen Form exakt auszugeben. Weiß jemand ein Tool
> (idealerweise online), das mir hier den Rechenaufwand
> ersparen kann? Mir würden auch die exakten Nullstellen
> genügen.
>  
> (Hintergrund: Ich versuche gerade eine explizite Formel
> für die rekursive Folge [mm]f_{n}=f_{n-1}+2f_{n-2}-f_{n-3}[/mm] mit
> [mm]f_0=f_1=0, f_2=1[/mm] zu finden.)
>  
> Schonmal vielen Dank!
>  
> LG

Hallo kamaleonti,

wenn man diese Gleichung exakt lösen will, kommt man wohl kaum darum herum, einen algebraischen Weg zu gehen. Und dann sind wir zurück bei Cardano & Co.
Und das ist bei diesem Beispiel nicht so angenehm. Man sieht es am Ergebnis, das Mathematica liefert:

     [Dateianhang nicht öffentlich]

LG   Al-Chw.


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Nullstellen Polynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:44 Mi 20.07.2011
Autor: kamaleonti

Hallo Al,

danke für deine Antwort. Ich hatte so eine komplizierte Darstellung leider befürchtet. Jetzt muss ich sehen, ob ich damit was anfangen kann. Es sieht ja nicht gerade danach aus, als ob es eine 'rein reelle' Darstellung für die Nullstellen gäbe - bitter, aber was will man machen.

LG

Bezug
                        
Bezug
Nullstellen Polynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:22 Mi 20.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Al,
>  
> danke für deine Antwort. Ich hatte so eine komplizierte
> Darstellung leider befürchtet. Jetzt muss ich sehen, ob
> ich damit was anfangen kann. Es sieht ja nicht gerade
> danach aus, als ob es eine 'rein reelle' Darstellung für
> die Nullstellen gäbe - bitter, aber was will man machen.
>  
> LG


Es fragt sich noch, ob du wirklich eine exakte Lösung
brauchst. Ist es nicht so, dass man die Folgenglieder
am Ende durch einen gewissen Term der 3 Lösungen
[mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] darstellen kann ?
Dann würde es doch vielleicht genügen, für die theo-
retische Darstellung diese [mm] x_i [/mm] in der Rechnung zu
behalten und erst für konkrete zahlenmäßige Berech-
nungen deren (genäherte) Zahlenwerte zu benützen.
Da klar ist, dass alle Folgenglieder ganzzahlig sein
müssen, kann man einen Ergebniswert wie z.B. 88.994
dann ruhig auf 89 runden.

LG   Al-Chw.



Bezug
                                
Bezug
Nullstellen Polynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:48 Mi 20.07.2011
Autor: kamaleonti


> Es fragt sich noch, ob du wirklich eine exakte Lösung brauchst.

Jo, ich probiere nun die exakten Lösungen zu umgehen. Wird schon klappen ;-)
Danke nochmal!

LG

Bezug
                                        
Bezug
Nullstellen Polynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:53 Mi 20.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> > Es fragt sich noch, ob du wirklich eine exakte Lösung
> brauchst.
> Jo, ich probiere nun die exakten Lösungen zu umgehen. Wird
> schon klappen ;-)
>  Danke nochmal!
>  
> LG


Hab's ausprobiert, und es funktioniert ausgezeichnet.
Beispiel:  f_40=4'101'088'878

LG   Al



Bezug
                                                
Bezug
Nullstellen Polynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:59 Mi 20.07.2011
Autor: kamaleonti


> Hab's ausprobiert, und es funktioniert ausgezeichnet.
>  Beispiel:  f_40=4'101'088'878

Bei mir auch:

[mm] f_{500}=17914222774049475403004402467936138764699284456248464387668082048871256821853862555191119220340042693419357617764641752787475813 [/mm] ;-)

LG

Bezug
                                                        
Bezug
Nullstellen Polynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:28 Mi 20.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> > Hab's ausprobiert, und es funktioniert ausgezeichnet.
>  >  Beispiel:  f_40=4'101'088'878
>  Bei mir auch:
>  
> [mm]f_{500}=17914222774049475403004402467936138764699284456248464387668082048871256821853862555191119220340042693419357617764641752787475813[/mm]
> ;-)
>  
> LG

Mein Rechner ist leider nur halb so lang wie diese Zahl ...    ;-)


Bezug
        
Bezug
Nullstellen Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:10 Mi 20.07.2011
Autor: felixf

Moin!

> Exakte Nullstellen von [mm]x^3-x^2-2x+1.[/mm]
>  
> Liebe Forengemeinde,
>  
> ich suche die exakten Nullstellen von diesem Polynom (und
> habe gerade keine Lust, diese zu Fuß mit Cardano zu
> berechnen ;-)). Die gerundeten Nullstellen sind
> [mm]x_1\approx1.801, x_2\approx0.445, x_3\approx-1.247[/mm]
>  
> Es ist mir leider nicht gelungen, Wolframalpha dazu zu
> überreden, mir die reellen Nullstellen in einer
> vernünftigen Form exakt auszugeben. Weiß jemand ein Tool
> (idealerweise online), das mir hier den Rechenaufwand
> ersparen kann? Mir würden auch die exakten Nullstellen
> genügen.

Das Polynom ist irreduzibel, und wenn du $K := [mm] \IQ[x]/(x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] -2 x + 1)$ setzt und mit [mm] $\alpha$ [/mm] die Restklasse von $x$ in $K$ bezeichnest, dann sind [mm] $\alpha$, $\alpha^2 [/mm] - [mm] \alpha [/mm] - 1$ und [mm] $-\alpha^2 [/mm] + 2$ die Nullstellen von $f$ in $K$.

Das hab ich herausgefunden, indem ich:
1: R<x> := PolynomialRing(Rationals());
2: f := x^3 - x^2 - 2*x + 1;
3: SplittingField(f);

[]hier eingegeben habe.

> (Hintergrund: Ich versuche gerade eine explizite Formel
> für die rekursive Folge [mm]f_{n}=f_{n-1}+2f_{n-2}-f_{n-3}[/mm] mit
> [mm]f_0=f_1=0, f_2=1[/mm] zu finden.)

Die Loesungen lassen sich ja als [mm] $\beta_1 \cdot \alpha_1^n [/mm] + [mm] \beta_2 \cdot \alpha_2^n [/mm] + [mm] \beta_3 \cdot \alpha_3^n$ [/mm] schreiben, womit [mm] $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ [/mm] die Nullstellen sind und [mm] $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ [/mm] die Koeffizienten.

Die Berechnungen kannst du jetzt etwa in [mm] $\IQ[x]/(x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - 2 x + 1)$ exakt durchfuehren, ohne dich mit irrationalen Zahlen herumschlagen zu muessen. Das Ergebnis ist dann (je nach Wahl von [mm] $\beta_1, \beta_2, \beta_3$, [/mm] also falls diese von rationalen Startwerten der Rekurrenzgleichung stammen) einfach ein Element aus [mm] $\IQ$, [/mm] bzw. (fall es sich um ganzzahlige Startwerte handelt) um Elemente aus [mm] $\IZ$. [/mm]

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Nullstellen Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:30 Mi 20.07.2011
Autor: kamaleonti

Hallo Felix,

danke - eine interessante Herangehensweise. :)

> > [mm]x_1\approx1.801, x_2\approx0.445, x_3\approx-1.247[/mm]

> Das Polynom ist irreduzibel, und wenn du [mm]K := \IQ[x]/(x^3 - x^2 -2 x + 1)[/mm]
> setzt und mit [mm]\alpha[/mm] die Restklasse von [mm]x[/mm] in [mm]K[/mm] bezeichnest,
> dann sind [mm]\alpha[/mm], [mm]\alpha^2 - \alpha - 1[/mm] und [mm]-\alpha^2 + 2[/mm] die Nullstellen von [mm]f[/mm] in [mm]K[/mm].

> Die Loesungen lassen sich ja als [mm]\beta_1 \cdot \alpha_1^n + \beta_2 \cdot \alpha_2^n + \beta_3 \cdot \alpha_3^n[/mm]
> schreiben, womit [mm]\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3[/mm] die
> Nullstellen sind und [mm]\beta_1, \beta_2, \beta_3[/mm] die
> Koeffizienten.

Dazu eine Frage:
Kann man auf irgendeine Art und Weise herausfinden, welche Nullstelle von [mm] x^3-x^2-2x+1 [/mm] in [mm] \IR [/mm] welcher Nullstelle in K entspricht? Oder lässt sich dies nicht direkt in Beziehung bringen, weil die Körper zu 'unterschiedlich' sind?

LG

Bezug
                        
Bezug
Nullstellen Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:39 Mi 20.07.2011
Autor: felixf

Moin,

> danke - eine interessante Herangehensweise. :)

die rein algebraische sozusagen ;-)

>  > > [mm]x_1\approx1.801, x_2\approx0.445, x_3\approx-1.247[/mm]

>  
> > Das Polynom ist irreduzibel, und wenn du [mm]K := \IQ[x]/(x^3 - x^2 -2 x + 1)[/mm]
> > setzt und mit [mm]\alpha[/mm] die Restklasse von [mm]x[/mm] in [mm]K[/mm] bezeichnest,
> > dann sind [mm]\alpha[/mm], [mm]\alpha^2 - \alpha - 1[/mm] und [mm]-\alpha^2 + 2[/mm]
> die Nullstellen von [mm]f[/mm] in [mm]K[/mm].
>  
> > Die Loesungen lassen sich ja als [mm]\beta_1 \cdot \alpha_1^n + \beta_2 \cdot \alpha_2^n + \beta_3 \cdot \alpha_3^n[/mm]
> > schreiben, womit [mm]\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3[/mm] die
> > Nullstellen sind und [mm]\beta_1, \beta_2, \beta_3[/mm] die
> > Koeffizienten.
>
>  Dazu eine Frage:
>  Kann man auf irgendeine Art und Weise herausfinden, welche
> Nullstelle von [mm]x^3-x^2-2x+1[/mm] in [mm]\IR[/mm] welcher Nullstelle in K
> entspricht? Oder lässt sich dies nicht direkt in Beziehung
> bringen, weil die Körper zu 'unterschiedlich' sind?

Nun, die Restklasse [mm] $\alpha$ [/mm] von $x$ in $K = [mm] \IQ[x]/(x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - 2 x + 1)$ kann jeder Nullstelle von [mm] $x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - 2 x + 1$ in [mm] $\IR$ [/mm] (bzw. [mm] $\IC$) [/mm] entsprechen: fuer jede Nullstelle [mm] $\beta$ [/mm] von [mm] $x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - 2 x + 1$ in [mm] $\IC$ [/mm] ist die Abbildung $K [mm] \to \IQ[\beta]$, [/mm] $a [mm] \alpha^2 [/mm] + b [mm] \alpha [/mm] + c [mm] \mapsto [/mm] a [mm] \beta^2 [/mm] + b [mm] \beta [/mm] + c$ ein Isomorphismus.

Allerdings braucht man diese direkte Beziehung eigentlich auch gar nicht, zumindest nicht wenn es um Rekurrenzgleichungen geht :-)

LG Felix


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de