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Forum "Analysis des R1" - Nullstellen berechnen
Nullstellen berechnen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Nullstellen berechnen: Partialbruchzerlegung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:40 Mo 03.02.2014
Autor: bandchef

Aufgabe
Gegeben ist folgender Ausdruck: $H(z) = [mm] \frac{1+2\cdot z^{-1}}{1-3 \cdot z^{-1} -4 \cdot z^{-2}}$ [/mm]

Führen sie eine Partialbruchzerlegung durch.


Hi Leute! Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:

Für eine Partialbruchzerlegung muss ich doch an dieser Stelle erstmal den Faktorisieren. Richtig?
Ich setze nun in die Lösungsformel ein: [mm] $z_{1,2} [/mm] = [mm] \frac{3 \pm \sqrt{9-4 \cdot (-4) \cdot 1}}{2 \cdot (-4)}$ [/mm]

Es ergibt sich so: [mm] $z_1 [/mm] = -1, [mm] z_2 [/mm] = [mm] \frac14$ [/mm]

Aber wie sieht hier nun der faktorisierte Nenner aus? Wenn ich nun [mm] $\left( \frac{1}{z}-(-1)\right)\left( \frac{1}{z}-\frac14 \right)$ [/mm] ausmultipliziere komme ich auf [mm] z^{-2}+\frac34 z^{-1} [/mm] - [mm] \frac14$, [/mm] was aber nicht das Ausgangs-Nennerpolynom ist!

Was mache ich falsch?

        
Bezug
Nullstellen berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 Mo 03.02.2014
Autor: Sax

Hi,

die Nullstellen des Nenners sind [mm] z_1 [/mm] =-1 und [mm] z_2=4 [/mm] (du hast 1/z berechnet).
Warum erweiterst du den ganzen Bruch nicht mit [mm] z^2 [/mm] oder substituierst 1/z=x ?

Gruß Sax.

Bezug
                
Bezug
Nullstellen berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:52 Mo 03.02.2014
Autor: bandchef

Ah, ok. Also einfach mi [mm] z^2 [/mm] / [mm] z^2 [/mm] erweitern. Komme jetzt auch auf das richtige Ergebnis! Aber was muss ich tun, damit ich ab jetzt doch mit 1/z weiterrechnen kann?

Wenn ich jetzt weitermache, komme ich zu folgendem Ausdruck:

[mm] $\frac{A_1}{z+1} [/mm] + [mm] \frac{A_2}{z-4} [/mm] = [mm] A_1(z-4) [/mm] + [mm] A_2(z+1) [/mm] = $

Soweit richtig?

Bezug
                        
Bezug
Nullstellen berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:57 Mo 03.02.2014
Autor: Sax

Hi,

> Ah, ok. Also einfach mi [mm]z^2[/mm] / [mm]z^2[/mm] erweitern. Komme jetzt
> auch auf das richtige Ergebnis! Aber was muss ich tun,
> damit ich ab jetzt doch mit 1/z weiterrechnen kann?
>  
> Wenn ich jetzt weitermache, komme ich zu folgendem
> Ausdruck:
>  
> [mm]\frac{A_1}{z+1} + \frac{A_2}{z-4} = A_1(z-4) + A_2(z+1) =[/mm]
>  
> Soweit richtig?

Sicher nicht.
Das erste Gleichheitszeichen ist falsch,
das zweite Gleichheitszeichen soll wohl ein + sein und
hinter dem dritten Gleichheitszeichen geht's nicht weiter ?

Gruß Sax.


Bezug
                                
Bezug
Nullstellen berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:58 Mo 03.02.2014
Autor: bandchef

Kannst du's mir kurz erklären, wie's richtig geht?

Bezug
                                        
Bezug
Nullstellen berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:17 Mo 03.02.2014
Autor: Sax

Hi,

siehe nächste Antwort.

Gruß Sax.

Bezug
                                
Bezug
Nullstellen berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Mo 03.02.2014
Autor: bandchef

Ich hab hier ja nun mit [mm] z^2/z^2 [/mm] multipliziert. Was muss ich tun um nach der Nullstellenberechnung wieder auf 1/z zu kommen?

Bezug
                                        
Bezug
Nullstellen berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:31 Mo 03.02.2014
Autor: Sax

Hi,

du musst dich entscheiden, ob du eine Partialbruchzerlegung in z oder in [mm] z^{-1} [/mm] haben willst.

Im ersten Fall erweiterst du mit [mm] z^2. [/mm]
Das ergibt etwas von der Form T(z)= [mm] \bruch{quadratisches \ \ Polynom \ \ in \ \ z}{quadratisches \ \ Polynom \ \ in \ \ z} [/mm]
Dann füherst du eine Polynomdivision durch.
Das ergibt [mm] T(z)=1+\bruch{lineares \ \ Polynom \ \ in \ \ z}{quadratisches \ \ Polynom \ \ in \ \ z}=1+\bruch{lineares \ \ Polynom \ \ in \ \ z}{(z+1)*(z-4)}=1+\bruch{A}{z+1}+\bruch{B}{z-4} [/mm]
Du bestimmst A und B.

Im zweiten Fall substituierst du [mm] x=\bruch{1}{z}. [/mm]
Du erhälst [mm] T(x)=\bruch{1+2x}{1-3x-4x^2}=\bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{1-4x} [/mm]
Du bestimmst A und B. Zum Schluss ersetzt du wieder x durch [mm] \bruch{1}{z} [/mm]

Gruß Sax.

Bezug
                                                
Bezug
Nullstellen berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:22 Di 04.02.2014
Autor: bandchef

Wie kommst du auf den Nenner $ [mm] \bruch{B}{1-4x} [/mm] $?

Bezug
                                                        
Bezug
Nullstellen berechnen: Nullstelle
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:02 Di 04.02.2014
Autor: Roadrunner

Hallo bandchef!


> Wie kommst du auf den Nenner [mm]\bruch{B}{1-4x} [/mm]?

$x \ = \ [mm] \bruch{1}{4}$ [/mm] ist Nullstelle des ursprünglichen Nenners.

Du kannst hier schreiben:

[mm] $\bruch{B'}{x-\bruch{1}{4}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-4*B'}{1-4x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{B}{1-4x}$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner

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