Nullstellen der e-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Mi 18.02.2015 | | Autor: | abi15 |
| Aufgabe | Führen Sie eine Untersuchung der Funktion f durch, indem Sie sie auf Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte untersuchen.
f(x) = [mm] e^{0,1*x-0,01x^2} [/mm] |
Hallo,
um die Nullstellen zu berechnen habe ich die Funktion gleich 0 gesetzt.
0 = [mm] e^{0,1*x-0,01x^2}
[/mm]
Jetzt würde ich die Funktion auf beiden Seiten logarithmieren um e zu eliminieren. Mein Taschenrechner sagt das ln(0) nicht möglich ist.
In den Lösungen steht nur, dass es keine Nullstellen gibt, weil Potenzen zur Basis e positiv sind. Aber wie komme ich darauf?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Mi 18.02.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Führen Sie eine Untersuchung der Funktion f durch, indem
> Sie sie auf Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte
> untersuchen.
> f(x) = [mm]e^{0,1*x-0,01x^2}[/mm]
>
> Hallo,
> um die Nullstellen zu berechnen habe ich die Funktion
> gleich 0 gesetzt.
> 0 = [mm]e^{0,1*x-0,01x^2}[/mm]
> Jetzt würde ich die Funktion auf beiden Seiten
> logarithmieren um e zu eliminieren. Mein Taschenrechner
> sagt das ln(0) nicht möglich ist.
> In den Lösungen steht nur, dass es keine Nullstellen gibt,
> weil Potenzen zur Basis e positiv sind. Aber wie komme ich
> darauf?
Lass den Taschenrechner hier mal weg, die Tatsache, dass eine Exponentialfunktion [mm] f(x)=b^x [/mm] hat (egal bei welcher Basis b) keine Nullstellen hat, ja dass sogar [mm] b^{\ldots}>0 [/mm] gilt, gehört zum Oberstufenallgemeinwissen im Bereich der Mathematik.
Einen gewissen Überblick über die ![[]](/images/popup.gif) verschiedenen Funktionstypen musst du sicher kennen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Mi 18.02.2015 | | Autor: | abi15 |
Hallo, danke erst einmal für die Antwort.
Das eine Exponentialfunktion weder Nullstellen, Extrema noch Wendepunkte hat haben wir gelernt. Wie kann es dann aber sein, dass ich keine Nullstellen errechnen kann, weil sie keine hat, aber für die gleiche Funktion Wendepunkte errechnen kann?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 Mi 18.02.2015 | | Autor: | abakus |
> Hallo, danke erst einmal für die Antwort.
> Das eine Exponentialfunktion weder Nullstellen, Extrema
> noch Wendepunkte hat haben wir gelernt. Wie kann es dann
> aber sein, dass ich keine Nullstellen errechnen kann, weil
> sie keine hat, aber für die gleiche Funktion Wendepunkte
> errechnen kann?
>
> Gruß
Hallo,
die Formulierung "eine Exponentialfunktion" ist das Problem.
Was du gelernt hast: Eine Exponentialfunktion der Form [mm] $f(x)=a*b^x$ [/mm] hat...
Diese Form liegt in der konkreten Aufgabe nicht vor.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Mi 18.02.2015 | | Autor: | abi15 |
Hallo,
wir haben aufgeschrieben dass f(x) = [mm] b^x [/mm] keine Nullstellen, Wendepunkte und Extrema hat. Inwiefern kann das also sein, dass ich keine Nullstellen, aber Extrempunkte erhalte?
Gruß
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> Hallo,
> wir haben aufgeschrieben dass f(x) = [mm]b^x[/mm] keine Nullstellen,
> Wendepunkte und Extrema hat.
Das ist richtig.
> Inwiefern kann das also sein,
> dass ich keine Nullstellen, aber Extrempunkte erhalte?
In der vorliegenden Aufgabe hast du eben gar nicht eine
Funktion der Form f(x) = [mm] b^x [/mm] , sondern eine Funktion
der Form
$\ f(x)\ =\ [mm] b^{\,u(x)}$
[/mm]
mit der Basis $\ b\ =\ e$ und dem von $\ x$ abhängigen Exponenten
$\ u(x)\ =\ [mm] 0.1*x-0.01*x^2$
[/mm]
LG , Al-Chwarizmi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Do 19.02.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo, danke erst einmal für die Antwort.
> Das eine Exponentialfunktion weder Nullstellen, Extrema
> noch Wendepunkte hat haben wir gelernt. Wie kann es dann
> aber sein, dass ich keine Nullstellen errechnen kann, weil
> sie keine hat, aber für die gleiche Funktion Wendepunkte
> errechnen kann?
Bilde doch mal die erste Ableitung, dort kommt durch die Kettenregel ein Faktor hinzu, in den weiteren Ableitungen kommt dann auch noch die Produktregel ins Spiel.
Daher kann die Ableitung dann durchaus Null werden.
>
> Gruß
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Mi 18.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo!
Es gilt:
[mm] f(x)=e^{g(x)}>0 [/mm] für alle(!) [mm] x\in\IR.
[/mm]
Bezüglich Extrema und Wendepunkte betrachte zunächst [mm] f'(x)\overset{!}{=}0.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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> Führen Sie eine Untersuchung der Funktion f durch, indem
> Sie sie auf Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte
> untersuchen.
> f(x) = [mm]e^{0,1*x-0,01x^2}[/mm]
Bevor man lange rumrätselt, ob die Funktion Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte hat, sollte man vielleicht mal den Graphen dieser Funktion zeichnen.
Dann sieht man doch, wie die Funktion verläuft.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Do 19.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Führen Sie eine Untersuchung der Funktion f durch, indem
> > Sie sie auf Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte
> > untersuchen.
> > f(x) = [mm]e^{0,1*x-0,01x^2}[/mm]
>
> Bevor man lange rumrätselt, ob die Funktion Nullstellen,
> Extrempunkte und Wendepunkte hat, sollte man vielleicht mal
> den Graphen dieser Funktion zeichnen.
Hallo rabilein,
das ist wirklich eine ganz tolle Idee. Man lernt nicht aus. Ich habs bisher immer so gemacht:
ich hab mich um Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte gekümmert, u.a. deswegen, damit ich den Graphen zeichnen kann.
Man kann sich auch von einem elektronischen Knecht den Graphen plotten lasse, das hat aber mit Mathematik nix zu tun.
Gruß FRED
>
> Dann sieht man doch, wie die Funktion verläuft.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Mo 23.02.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> > Bevor man lange rumrätselt, ob die Funktion Nullstellen,
> > Extrempunkte und Wendepunkte hat, sollte man vielleicht mal
> > den Graphen dieser Funktion zeichnen.
> das ist wirklich eine ganz tolle Idee. Man lernt nicht aus.
> Ich habs bisher immer so gemacht:
>
> ich hab mich um Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte
> gekümmert, u.a. deswegen, damit ich den Graphen zeichnen
> kann.
Letztlich ist es doch egal, ob zuerst das Huhn oder das Ei war.
Aber wenn man nicht weiß, wie das mit den Nullstellen, Extrempunkten und Wendepunkten geht, dann muss man eben den umgekehrten Weg gehen. Dann sieht man zumindest rein optisch, wo diese Punkte liegen (jedenfalls so ungefähr. Man sieht das natürlich nicht auf die fünfte Stelle hinter dem Komma genau).
Und falls es bei einer Funktion gar keine Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte gibt, würde man das sehen, bevor man lange nach diuesen Punkten sucht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:59 Di 24.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > Bevor man lange rumrätselt, ob die Funktion Nullstellen,
> > > Extrempunkte und Wendepunkte hat, sollte man vielleicht mal
> > > den Graphen dieser Funktion zeichnen.
>
> > das ist wirklich eine ganz tolle Idee. Man lernt nicht aus.
> > Ich habs bisher immer so gemacht:
> >
> > ich hab mich um Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte
> > gekümmert, u.a. deswegen, damit ich den Graphen zeichnen
> > kann.
>
> Letztlich ist es doch egal, ob zuerst das Huhn oder das Ei
> war.
>
> Aber wenn man nicht weiß, wie das mit den Nullstellen,
> Extrempunkten und Wendepunkten geht, dann muss man eben den
> umgekehrten Weg gehen. Dann sieht man zumindest rein
> optisch, wo diese Punkte liegen (jedenfalls so ungefähr.
> Man sieht das natürlich nicht auf die fünfte Stelle
> hinter dem Komma genau).
Dann machen wir einen Test: wo hat der Graph der Funktion
$f(x):= [mm] \exp(0.00000001*x-0.000000000000000001*x^2)$
[/mm]
Extrem- und Wendepunkte ?
Ohne Rechnen !
FRED
>
> Und falls es bei einer Funktion gar keine Nullstellen,
> Extrempunkte und Wendepunkte gibt, würde man das sehen,
> bevor man lange nach diuesen Punkten sucht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:33 Di 24.02.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> Dann machen wir einen Test: wo hat der Graph der Funktion
> [mm]f(x):= \exp(0.00000001*x-0.000000000000000001*x^2)[/mm]
> Extrem- und Wendepunkte ?
Ja, dann zeichne das doch mal mit entsprechendem Maßstab. Dann siehst du, wo die gesuchten Punkte liegen.
Auf die Frage "Geht das denn?" lautet die Antwort sicherlich "In theory, yes". Und sicherlich wird es auch irgendwo auf der Welt einen Computer geben, der mit solchen Zahlen auch in der Praxis umgehen kann.
Außerdem wird das, was der Fragesteller ursprünglich wollte, sicherlich auch mit "normalen" Computerprogrammen lösbar sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Di 24.02.2015 | | Autor: | fred97 |
>
> > Dann machen wir einen Test: wo hat der Graph der Funktion
> > [mm]f(x):= \exp(0.00000001*x-0.000000000000000001*x^2)[/mm]
> >
> Extrem- und Wendepunkte ?
>
> Ja, dann zeichne das doch mal mit entsprechendem Maßstab.
> Dann siehst du, wo die gesuchten Punkte liegen.
ich hab gezeichnet (zeichnen lassen) und sehe nix !
ich hab gerechnet und sehe viel !
>
> Auf die Frage "Geht das denn?" lautet die Antwort
> sicherlich "In theory, yes".
Oh yeah, very cool !
> Und sicherlich wird es auch
> irgendwo auf der Welt einen Computer geben, der mit solchen
> Zahlen auch in der Praxis umgehen kann.
Ja, z.B. hier:
http://www.mathe-fa.de/de
>
>
> Außerdem wird das, was der Fragesteller ursprünglich
> wollte, sicherlich auch mit "normalen" Computerprogrammen
> lösbar sein.
So, nun lass Dir mal auf http://www.mathe-fa.de/de den Graphen von
[mm] f(x):=\sin(\bruch{10}{x}) [/mm] (x [mm] \ne [/mm] 0)
plotten. Mit value [mm] \in \{ Nullstellen, \quad Extremstellen \} [/mm] ist dann frei nach Pete Seeger:
Where have all the values gone ?
Long time passing ?
Where have all the values gone ?
Long time ago ?
Where have all the values gone ?
Rabilein picks them everyone.
When will Rabilein ever learn?
When will Rabilein ever learn?
Ausrechnen kann man aber die Nullstellen und Extremstellen sehr flott.
Gruß FRED
P.S.:
Hier ist der Song "Where Have All The Flowers Gone" von Pete Seeger wunderbar gesungen von Joan Baez:
https://www.youtube.com/watch?v=0LZ2R2zW2Yc
>
>
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Hallo,
ich möchte gerne nun doch noch etwas zur Ehrenrettung
Rabileins anmerken.
Für den Umgang mit mathematischen Fragestellungen
sind algebraische Methoden und formales Rechnen nicht
die einzig zuläßigen Mittel. Oftmals sind geometrisch-
anschauliche Betrachtungen und Hilfsmittel sehr wertvoll
und können einen in der Suche nach einem wirklich einer
Situation angepassten Lösungsweg sehr unterstützen.
Da denke ich jetzt auch mal gar nicht an den (massiven)
Einsatz von Funktionsplottern oder grafischen Taschen-
rechnern. Auch eine Skizze, die man sich mal vorläufig
aufgrund einer einfachen Wertetabelle (die sich oft auch
immer noch ohne elektronische Hilfsmittel erstellen lässt)
zeichnen kann, kann zum Verständnis beitragen.
Mich stört, dass es unter heutigen Mathe-Unterrichtenden
eine wachsende Gilde gibt, denen geometrische und
anschauliche Überlegungen praktisch nichts mehr gelten
und die als "richtige" Lösungen stets nur akzeptieren,
was von A bis Z in ein rechnerisch-algebraisches Mäntelchen
gekleidet ist, obwohl vielleicht auch dahinter zentrale
Überlegungen stecken, die ihrer Natur nach einfacher
und besser begreiflich mit geometrischen Argumenten
erklärt werden können.
In der vorliegenden Aufgabe könnte man schon dann,
wenn man versucht, eine Wertetabelle der Funktion
der Form
$\ [mm] f:\,x\,\mapsto\ e^{g(x)}$
[/mm]
aufzustellen, bald merken, dass natürlich eine lokale
Extremalstelle der Exponentenfunktion g auch eine
lokale Extremalstelle von f sein muss, und zwar wegen
der strengen Monotonie der Exponentialfunktion.
Das klappt, wenn man mit Verstand bei der Sache ist,
auch ganz ohne die formale Anwendung der Kettenregel.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:09 Mi 25.02.2015 | | Autor: | rabilein1 |
Besser hätte ich das auch nicht ausdrücken können.
Vor allem der Absatz, dass heutzutage (ich weiß nicht, ob es früher anders war) manche Mathe-Unterrichtende bestimmte Dinge nicht gelten lassen, hat mir gefallen.
Im Prinzip soll es doch egal sein, WIE man auf die Lösung kommt. Meist führen ja viele Wege nach Rom. Kritisch wird es erst, wenn sich die auf unterschiedlichen Wegen gefundenen Ergebnisse widersprechen. Dann sollte man noch mal genauer nachschauen, wo der Fehler steckt.
Aber im allgemeinen wird die eine Methode ja durch die andere bestätigt = sozusagen der "Beweis", dass man richtig liegt. Denn man wird ja nicht zweimal denselben Fehler auf unterschiedlichen Wegen machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Mi 25.02.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> Where have all the values gone ?
> Long time passing ?
> Where have all the values gone ?
> Long time ago ?
> Where have all the values gone ?
> Rabilein picks them everyone.
> When will Rabilein ever learn?
> When will Rabilein ever learn?
Ich weiß überhaupt nicht, was du damit sagen willst.
Du denkst dir irgendweine Funktion aus, bei der irgendwas nicht funktioniert (plotten) und was anderes sehrwohl funktioniert (rechnen).
Und dann schließt du von diesem einen Fall auf die Allgemeinheit.
And now? Was soll man denn daraus lernen?
In den meisten anderen Fällen würde meine Methode sehrwohl funktionieren, nämlich, dass man erst einmal den Graphen plottet, um zu sehen, wie und wo der überhaupt verläuft.
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> In den meisten anderen Fällen würde meine Methode
> sehr wohl funktionieren, nämlich, dass man erst einmal den
> Graphen plottet, um zu sehen, wie und wo der überhaupt
> verläuft.
Hallo Rabilein,
heutzutage ist es tatsächlich ein Kinderspiel, sich mittels
elektronischer Hilfsmittel (und dahinter steckender massiver
Rechen-Power) einen Funktionsgraphen einfach mal so plotten
zu lassen. Noch als wir zur Schule gingen, gab es diese
Möglichkeiten einfach überhaupt noch nicht.
Dass in diesem Gebiet sehr vieles heute anders aussieht,
sollte natürlich auch z.B. bei den Autoren von Mathe-Lehr-
büchern ankommen. Mit dem Thema "Kurvendiskussion",
mit dem Generationen von Gymnasiasten über die Maßen
bedient wurden, kann man heute die Leute nicht mehr
hinter dem PC hervorlocken, weil eben das ursprüngliche
Ziel, Funktionsgraphen mit ihren wesentlichen Eigenschaften
zu veranschaulichen, mit einem simplen, aber schnellen
Plot-Programm leichter erreichbar ist als durch die Unter-
suchung mittels der Funktionsableitungen.
Natürlich verlieren die genannten mathematischen Grund-
lagen der Differential- und Integralrechnung dadurch nichts
von ihrer Bedeutung - aber es müssen wohl neue Wege
gefunden werden, um sie einer durch elektronische Helferlein
verwöhnten Schülerschaft schmackhaft zu machen.
LG , Al
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