Nullstellen des Char. Polynoms < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmte die Determinante der folgenden Matrix:
[mm] \pmat{ \bruch{3}{2}-\lambda & -\bruch{11}{16} & \bruch{32}{3} \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda }
[/mm]
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Hallo!
Auf das obige Problem bin ich während der Bestimmung der Eigenwerte gestoßen.
Ich wollte euch fragen, ob jemand eine Möglichkeit kennt die obige Determinante so auszurechnen (durch Zeilen/Spalten-Umformungen, Entwicklungssatz,...), sie dann wenigstens die Form [mm] (EW-\lambda)*(...) [/mm] hat, also dass ich beim charakteristischen Polynom dritten Grades dann keine Nullstelle raten muss.
Ich habe schon einige Spalten/Zeilen-Umformungen probiert, dies führte mich aber nicht zum Ziel.
Vielen Dank für Eure Mühe
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Wieso nimmste nicht einfach die Regel von Sarrus. Wegen den vielen Nullen kommt sogar ein halbwegs angenehmes Polynom raus.
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Zunächst Danke für deine Antwort!
> Wieso nimmste nicht einfach die Regel von Sarrus. Wegen den
> vielen Nullen kommt sogar ein halbwegs angenehmes Polynom
> raus.
Ja, das ist richtig.
Aber dann erhalte ich kein char. Polynom, wo schon ein Linearfaktor abgespalten ist (der eben durchs Ausrechnen der Determinante schon so ist). Und das hätte ich gerne.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Na wenn de meinst...
Addier ein geeignetes Vielfaches der zweiten zur ersten Zeile, um [mm] a_{12} [/mm] auf Null zu kriegen. Dann kannste ein geeignetes Vielfaches der zweiten zur dritten addieren, um [mm] a_{32} [/mm] auf Null zu bringen. Dann addier ein geeignetes Vielfaches der ersten zur dritten, um [mm] a_{31} [/mm] auf Null zu haben. Dann müssteste eine obere Dreiecksmatrix haben, wenn ich mich nicht geirrt hab. Von der die Determinante ist ja das Produkt der Diagonalelemente, also haste dann deine Nullstellen rausfaktorisiert (wobei in einer Zeile ein [mm] \lambda^2 [/mm] dann steht, glaub ich).
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