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| Aufgabe | | [mm] f_{a}(x) [/mm] = x^(-a)/a + ln(x²) |
Guten Tag erstmal!
Ich hab hier eine verdammt knifflige Kurvenschar und ich komm einfach nicht auf eine Idee, um die Nullstellen zu bestimmen.
0 = x^(-a)/a + ln(x²)
Wenn ich ja den Term gleich null setze und einen Summanden auf die andere Seite ziehe, hab ich auf der einen Seite einen Logarithmus stehen und auf der anderen ein [mm] x^a [/mm] (bzw. mit minus, aber das tut ja nix zur Sache).
-x^(-a)/a = ln(x²)
Wenn ich das X aus dem LN ziehen will und die ganze Gleichung hoch e nehme, ist auf der anderen Seite das x dann in der Potenz und ich bekomms da nicht raus.
Ich schaff es einfach nicht, das x zu isolieren.
Ich hab schon jegliche Umformungen probiert, aber es hilft nichts.
Dass die Funktion nur Nullstellen für ungerade a hat, erkennt man am Gaphen. Aber erkennt man das auch am Term?
Und falls die Nullstellen berechenbar sind, würd ich mich über einen Tipp freuen. Ich brauch nicht unbedingt die Lösung.
Falls Sie nicht berechenbar sind, dann vielleicht irgendwie näherungsweise?!
Ich wäre sehr dankbar für eine Antwort.
Schönen Gruß
Master Jo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Wichtige Angaben fehlen. Ist [mm]a[/mm] z.B. eine ganze Zahl oder beliebig reell? Und wie sieht es mit dem Definitionsbereich der Funktion aus?
Solange ich nichts anderes weiß, gehe ich von Folgendem aus: [mm]a>0[/mm] reell und [mm]x>0[/mm].
Schauen wir uns das Randverhalten von [mm]f_a[/mm] an. Zunächst [mm]x \to \infty[/mm]:
[mm]\frac{1}{a} \, x^{-a} \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ x \to \infty \, , \ \ \ 2 \ln{x} \to \infty \ \ \mbox{für} \ \ x \to \infty[/mm]
Es folgt:
[mm]f_a(x) \to \infty \ \ \mbox{für} \ \ x \to \infty[/mm]
Und nun [mm]x \to 0[/mm] mit [mm]x>0[/mm]:
[mm]\frac{1}{a} \, x^{-a} \to \infty \ \ \mbox{für} \ \ x \to 0 \, , \ \ \ 2 \ln{x} \to - \infty \ \ \mbox{für} \ \ x \to 0[/mm]
Das ist übel, denn die Addition der Terme führt auf den unbestimmten Ausdruck [mm]\infty - \infty[/mm]. Um mehr zu sehen, substituieren wir [mm]x = \operatorname{e}^{-t}[/mm] und betrachten [mm]t \to \infty[/mm], was [mm]x \to 0[/mm] nach sich zieht:
[mm]\frac{1}{a} \, x^{-a} + 2 \ln{x} = \frac{1}{a} \operatorname{e}^{at} - 2t \to \infty \ \ \mbox{für} \ \ t \to \infty [/mm]
Letzteres kann man folgern, da das Wachstum der Exponentialfunktion polynomiales Wachstum schlägt. Es gilt daher:
[mm]f_a(x) \to \infty \ \ \mbox{für} \ \ x \to 0[/mm]
Am linken und rechten Rand des Definitionsbereichs geht also [mm]f_a(x)[/mm] gegen Unendlich. Daher muß [mm]f_a[/mm] an einer Stelle [mm]x>0[/mm] ein globales Minimum besitzen. Dort muß die Ableitung verschwinden:
[mm]f_a'(x) = -x^{-a-1} + \frac{2}{x} = 0[/mm] nur für [mm]x = 2^{- \frac{1}{a}}[/mm]
Das globale Minimum von [mm]f_a[/mm] befindet sich also an der Stelle [mm]x = 2^{- \frac{1}{a}}[/mm].
[mm]f_a \left( 2^{- \frac{1}{a}} \right) = \frac{2}{a} \left( 1 - \ln{2} \right) > 0[/mm]
Da das globale Minimum positiv ist, besitzt [mm]f_a[/mm] keine Nullstellen.
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Also danke erstmal für deine Mühe!
das zu den definitionen
a [mm] \in \IR, [/mm] a also reell.
Die Definition ist von der Aufgabenstellung her nicht definiert.
dazu ne Frage: ist x > 0 definiert auch bei ln(x²).
Als 2*ln(x) geschrieben müsste x ja größer null sein.
Aber ist das auch bei ln(x²) so?
Ich dachte hier wäre x alles außer null. (da der Graph dem von 2*ln(x) entspricht, nur an der y-Achse eben noch gespiegelt.
Also dann 2*ln|x|.
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Wenn [mm]a[/mm] beliebig reell sein soll, dann müßte [mm]x>0[/mm] vorausgesetzt sein, da es sonst Schwierigkeiten mit den Potenzen gibt. Beispiel: [mm]x = -2 , \ a = - {\sqrt{2}}[/mm]
[mm]x^{-a} = (-2)^{\sqrt{2}}[/mm]
Was soll das bedeuten?
Wenn man dagegen alle [mm]x \neq 0[/mm] zulassen will, muß man eine Einschränkung wie etwa [mm]a \in \mathbb{Z}[/mm] vornehmen. Sonst kommt man in Teufels Küche!
Und du hast recht: Für [mm]x>0[/mm] kann man schreiben: [mm]\ln{x^2} = 2 \ln{x}[/mm]. Läßt man dagegen [mm]x \in \mathbb{R} \setminus \{ \, 0 \, \}[/mm] zu, muß es [mm]\ln{x^2} = 2 \ln{|x|}[/mm] heißen.
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für [mm] a\not\in\IZ [/mm] wärs dann halt nur für positive x definiert, oder?
a ist jedenfalls reell. dadran kann ich leider nix machen.
Und wenn ich ehrlich bin dachte ich auch erst nur an a als ganze Zahl. Wobei das kaum einen Unterschied macht, mit meinem Nullstellenproblem.
Ist es jetzt möglich die Nullstelle zu berechenen?
z.B.
Für a ist -5 gibt es für x [mm] \approx [/mm] -1 doch eine nullstelle.
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Hallo,
> für [mm]a\not\in\IZ[/mm] wärs dann halt nur für positive x
> definiert, oder?
> a ist jedenfalls reell. dadran kann ich leider nix
> machen.
> Und wenn ich ehrlich bin dachte ich auch erst nur an a als
> ganze Zahl. Wobei das kaum einen Unterschied macht, mit
> meinem Nullstellenproblem.
> Ist es jetzt möglich die Nullstelle zu berechenen?
> z.B.
> Für a ist -5 gibt es für x [mm]\approx[/mm] -1 doch eine
> nullstelle.
Schau dir mal die Überlegungen von chrisno an.
Ich denke auch, dass es in einigen Fällen genau eine Nullstelle geben muss, die man aber wohl nur durch Näherungsverfahren berechnen kann. Ist das wirklich gefordert?! Eigentlich untypisch für die Schule ...
Gruß informix
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Kann mir bitte einer weiterhelfen?
Ich bin ja schon fast am verzweifeln.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 Sa 16.09.2006 | | Autor: | chrisno |
Zum Verzweifeln gibt es keinen Grund. Ich habe nun nicht nach einer Lösung gesucht, dafür fehlt mir die Zeit. Es kann aber gut sein, dass es keine Möglichkeit gibt, die Nullstellen explizit zu bestimmen. Dann fängt der interesante Teil der Mathematik an:
- nachweisen, dass es keine geben kann oder dass es eine geben muss (Zwischenwertsatz)
- Einschränken des Intervalls in dem die Nullstelle liegen muss.
- genauere Bestimmung des Intevalls mit einer numerischen Methode (Newton-Verfahren) für einzelne Fälle.
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Nur als kleiner Hinweis: Unter den Bedingungen an [mm]a,x[/mm], die ich für sinnvoll erachte, habe ich bereits gezeigt, daß [mm]f_a[/mm] keine Nullstellen besitzt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:56 So 17.09.2006 | | Autor: | Palin |
Erstmal um sicher zu sei ob ich die Formel richtig verstanden haben
f(x) = [mm] \bruch{1}{x^a*a}+ ln(x^2)
[/mm]
Also ich schätze mal du hast dann ausgeschloßen a>0 und x>0.
Weiter kanst du auch ausschlißen a= 2n ,a>0 und x<0 .
dann noch a=2n+1, a<0 und x<0.
Solte aus dem ersten Term folgen.
Also nur wenn der 1. Term negativ wird kann die Funktion überhaupt eine nullstelle haben.
Mein vorschlag währ suche mal bei x>0 und a<0 nach einer Nullstelle und bei den anderne möglichkeiten auch.
also x<0 a<0 und a=2n
und x<0 a>0 und a=2n+1
Sonst must du Beweisen das der 1. Term in dem Interwall kleiner als der Zweite ist., wenns umgekert ist solte es dort eine Nullstelle geben.
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Erstmal danke an euch allen!
Das bringt mich jetzt echt weiter.
Ich werd jetzt erstmal alle Fälle durchrechnen und mich mit dem Zwischenwertsatz und dem Newton-Verfahren auseinandersetzen.
Hoffentlich bekomm ich das hin.
Notfalls meld ich mich nochmal.
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