Nullstellen in Abh. von k < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | f(x)= x(x²/k - k - 1) - Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f in Abhängigkeit von k. Geben Sie auch die zugehörigen Vielfachheiten an. |
Hallo mal wieder!
Bin gerade am Abschlussprüfungen üben und da gibt es unter anderem diese Aufgabe, die ich absolut nicht verstehe.
Wenn ich rechne komm' ich auf x1=0 und x2/3= +/- [mm] \wurzel{k²-k}
[/mm]
Allerdings steht in der lösung, dass ich eine Fallunterscheidung machen soll.
Warum ist hier (oder auch wann ganz allgemein) eine Fallunterscheidung nötig?
In der Lösung steht:
1. Fall: k(k+1)<0 (Warum ist hier nicht weiter aufgelöst worden?)
(k>0 und k + 1>0 oder (k<0 und k+1 >0)
{} oder -1 <k < 0
--> Die quadratische Gleichung x²= k(k+1) hat keine reellen Lösung für k ]-1;0[. f hat für k ]-1;0[ eine einfache Nullstelle bei x=0
Was soll man da machen? Versteh' den Lösungsweg einfach gar nicht... Warum Fallunterscheidung, warum nicht ganz aufgelöst, warum die schlußfolgernde Lösung, warum die vier verschiedenen "k-Arten"? Versteh einfach gar nichts mehr... bitte helft mir.
Danke im Vorraus für jede Antwort!
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:03 Mi 31.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch die Nst. [mm] x=\pm\wurzel{k^2+k}=\pm\wurzel{k*(k+1)}
[/mm]
Da hast du einen Fehler mit deinem -
wenn das unter der Wurzel negativ ist, hast du doch keine Lösung, also nur die Nst x1=0
und jetzt untersucht man wann [mm] k^2+k [/mm] bzw k*(k+1) negativ ist.
das ist einfacher, wenn man k*(k+1) untersucht.
Ein Produkt ist negativ, wenn einer der Faktoren negativ ist, der andere pos.
also entweder k<0 und k+1>0 also k>-1 d.h. -1<k<0
oder k+1<0 und k>0 das gibt es nicht.
d.h. jetzt für Werte von k zwischen -1 und 0 gibt es nur eine Nullstelle, für alle anderen k 3 Nst.
wenn k=0 oder k=-1 ist die Wurzel 0 also gleich der ersten Nst.
mathematischer geschrieben. für [mm] k\in [/mm] [0,1] eine Nullstelle
d.h. für die Wertek zwischen -1 und 0 nur eine einfache Nst. für k=-1 und k=0 eine dreifache Nullstelle
für alle anderen k 3 Nullstellen.
Jetzt klarer?
(Wenn du nicht auf die Idee mit dem Produkt kommst musst du halt untersuchen wann [mm] k^2+k<0 [/mm] ist.)
Gruss leduart
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Ahh, verstanden, dankeschön.
Nur würd' ich da leider nieeeemals drauf kommen... Kann man denn allgemein gültig sagen, wann man eine Fallunterscheidung durchführen muss? Und muss man dabei immer die Variable für 0, <0 und >0 betrachten? (außer natürlich wenn's in D anders angegeben ist?)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:31 Mi 31.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du bei Parametern ne Wurzel hast, musst du doch immer untersuchen, ob die auch existiert. und das eben nur wenn sie positiv ist. wenn da etwa [mm] k^2+k^4 [/mm] drunter steht, ist das immer positiv, aber i.A. musst du eben dann untersuchen, für welche k der Wurzelausdruck existiert, also unter der Wurzel was positives steht. Das kann bei Nullstellen aber auch Extremwerten passieren. Und wenn man einmal dran gedacht hat, denkt man hoffentlich bei jeder Wurzel dran. Manchmal gibts auch keine Fallunterscheidung. Wenn unter der Wurzel nur k+5 steht hat man halt k>-5 damit sie existiert.
gruss leduart
gruss leduart
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Ok, klingt logisch ;)
Also ist's doch so:
1. Nullstellen berechnen, die ohne k möglich sind (also z.B. bei einem x vor einer Klammer) Diese Nullstelle gibts dann immer, egal welche Werte k annimmt.
2. "Den Rest" gleich Null setzen und nach x auflösen.
3. Wenn es da möglich ist, dass es kein Ergebnis dafür gibt (also bei Wurzeln oder auch Definitiosmengen (oder?) --> Fallunterscheidung für k=0, k<0 und k>0 bzw. bei Produkten beide Teile)
4. Dann jedes einzelne Ergebnis + evtl vorhandene Nullstellen einzeln "beschreiben".
Stimmt das so? Vielen Dank nochmal!
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Hallo,
vielleicht ist es sinniger, wenn Du einfach nochmal eine Nullstellenberechnung von einer Funktion mit Parameter durchführst.
Ich find's schwer, zu dem, was Du sagst, "ja" oder "nein" zu schreiben, ich weiß ja nicht, ob Du Dir unter dem, was Du schreibst, dasselbe vorstellst wie ich.
Wie die Fallunterscheidung ggf. zu machen ist, hängt doch sehr von der betrachteten Funktion ab.
Mit "k=0, k<0 und k>0" hat man nicht immer den Weg zum Glück gepachtet.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Mi 31.03.2010 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo Pia,
nun - es gibt (wie so häufig) kein funktionierendes Patentrezept für alle möglichen Fälle. Hier hilft - und da bin ich ganz bei Angela - im Prinzip nur Übung, Übung und noch mal Übung.
Allerdings ein paar Dinge aus deiner Auflistung die dir das Leben tatsächlich erleichtern können:
> Also ist's doch so:
> 1. Nullstellen berechnen, die ohne k möglich sind (also
> z.B. bei einem x vor einer Klammer) Diese Nullstelle gibts
> dann immer, egal welche Werte k annimmt.
Wenn es so eine Nullstelle gibt (oder mehrere), ja. Zum Beispiel die Funktion [mm]f_t(x) =x^2 + t[/mm] hat keine von t unabhängige Nullstelle. Aber wenn, kann man sie meistens (relativ) einfach vorneweg bestimmen...
> 2. "Den Rest" gleich Null setzen und nach x auflösen.
Hmm, schwierig. Das setzt voraus, dass man den Funktionsterm einfach in ein Produkt aufteilen kann, bzw. dass das von dir oben beschriebene Produkt und die dazugehörige "normale" Nullstelle existiert.
> 3. Wenn es da möglich ist, dass es kein Ergebnis dafür
> gibt (also bei Wurzeln oder auch Definitiosmengen (oder?)
> --> Fallunterscheidung für k=0, k<0 und k>0 bzw. bei
> Produkten beide Teile)
Wie schon gesagt wurde, nicht immer setzt du die Fallunterscheidung im Nullpunkt an. Es kann auch sein, dass du k < 8, k = 8 und k > 8 betrachten musst oder sonst irgend was. Das ergibt sich aus der Aufgabe.
Worauf du unbedingt (und immer, z.B. auch bei "gewöhnlichen" Nullstellen) achten solltest:
- teilst du durch eine Variable, die vielleicht auch 0 werden kann? --> Ausschließen, Fallunterscheidung!
- Hast du eine Wurzel: Ist der Radikand (das unter der Wurzel) immer positiv? Wenn nicht --> Fallunterscheidung!
- Verlässt du sonst auf irgendeinem Weg den Definitionsbereich (der Funktion, des Logarithmus, Wurzel, etc... )
All das kann unter Umständen vorkommen (muss aber nicht). In der Regel reicht es aber, so einen Fall 1-2 mal gesehen zu haben und dann in der Prüfung konzentriert zu arbeiten.
Letztlich hilft nur Übung. 
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