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hab eine eigentlich recht einfache frage
ich will zeigen dass [mm] x^{b}-1=0 [/mm] in [mm] \IC [/mm] b verschiedene Nullstellen hat, zumindest hoffe ich dass es so ist
als tipp hab ich erhalten, dass ich mit [mm] e^{ \bruch{2 \pi i k}{b}} [/mm] mit k = 1, ..., b b verschiedene nullstellen habe
scheint mir aber irgendwie komisch da ja [mm] e^{2 \pi i} [/mm] = 1 ist, also hab ich doch eigentlich nur 1en als nullstellen oder was seh ich da falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Do 28.04.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> hab eine eigentlich recht einfache frage
> ich will zeigen dass [mm]x^{b}-1=0[/mm] in [mm]\IC[/mm] b verschiedene
> Nullstellen hat, zumindest hoffe ich dass es so ist
> als tipp hab ich erhalten, dass ich mit [mm]e^{ \bruch{2 \pi i k}{b}}[/mm]
> mit k = 1, ..., b b verschiedene nullstellen habe
> scheint mir aber irgendwie komisch da ja [mm]e^{2 \pi i}[/mm] = 1
> ist, also hab ich doch eigentlich nur 1en als nullstellen
> oder was seh ich da falsch?
>
Also du suchst Lösungen für [mm] $x^b [/mm] -1 = 0$ also wenn ich das umstelle: [mm] $x^b [/mm] = 1$
Der Tipp den du bekommen hast ist schon ganz richtig:
[mm]e^{ \bruch{2 \pi i k}{b}}[/mm]
Gibt dir alle Lösungen dafür (es gibt b Nullstellen und die Vorschrift mit dem e gibt genau b Werte dafür).
Wie sieht das anschaulich aus? Nun die Lösungen liegen alle auf dem Einheitskreis.
Das bedeutet du zeichnest einen Kreis mit Radius 1 um den Ursprung in dem Koordinatensystem mit reeler und
imaginärer Achse.
Dann ist die Komplexe Zahl $1 +0i $schonmal eine Lösung nicht? $1 +0i$ entspricht der Zahl
[mm]e^{ \bruch{2 \pi i k}{b}}[/mm] mit k = b.
Die anderen Lösungen liegen auch auf dem Kreis und zwar immer so, dass auch das komplex-konjugierte von der Lösung
ebenfalls eine Lösung ist: Also ist a+bi Lösung, dann auch a-bi.
Nun zurück zu unserem Schema: Wir teilen den Kreis jetzt in b geich große Sektoren ein. An den Sektroengrenzen sind dann
immer weitere Lösungen für das Nullstellenproblem.
Gruß Micha 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Do 28.04.2005 | | Autor: | cheetah_83 |
danke für die schnelle antwort
hat mir sehr geholfen
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