Nullstellen u. Parameter < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 So 08.02.2009 | | Autor: | Muemo |
| Aufgabe | | [mm] f(z)=(z^{2}+1-i)(|z|^{2}+\alpha) z\in\IC [/mm] |
Hallo,
von obiger Funktion soll ich folgende Sachen nachweisen:
(a) Für [mm] \alpha [/mm] > 0 besitzt f genau 2 Nullstellen
(b) Es gibt ein [mm] \alpha \in \IR [/mm] derart, dass f genau 3 Nullstellen besitzt
(c) Es gibt mindestens ein [mm] \alpha \in \IR, [/mm] so dass f unendlich viele Nullstellen besitzt.
Also bis jetzt hab ich nur eine Lösung für (c), die lautet, dass [mm] \alpha=-|z|^{2} [/mm] und somit meine Funktion f(z)=0 --> unendliche viele Nullstellen.
Aber wie beweise ich (a) und (b)? Ich hab zunächst angefangen mein z umzuschreiben und komme auf:
[mm] f(z)=((x+iy)^{2}+1-i)(x^{2}+y^{2}+\alpha) [/mm] Hier komme ich nicht weiter beziehungsweise komme ich nicht auf 2 Nullstellen? Jemand ein Tipp für mich.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 So 08.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] |z|^2+\alpha [/mm] ist doch ungleich 0 fuer alle [mm] \alpha>0
[/mm]
also kann nur die erste Klammer 0 sein. die kannst du in ein Produkt zerlegen,(z-c1)*(z-c2) und damit hat die erste Klammer nur 2 Nst.
dann kannst du sicher b) auch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 So 08.02.2009 | | Autor: | Muemo |
Hallo,
danke,hast natürlich recht.
Bei der Zerlegung der ersten Klammer was ist da mit
((z-c1)*(z-c2)) , c1 bzw. c2 gemeint? Ist das mein -i aus der Ausgangsfunktion?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 So 08.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Muemo!
Es wird hier die 3. binomische Formel [mm] $a^2-b^2 [/mm] \ = \ (a+b)*(a-b)$ angewandt. Es gilt hier:
[mm] $$z^2+1-i [/mm] \ = \ [mm] z^2-(i-1) [/mm] \ = \ [mm] z^2 [/mm] - [mm] \left( \ \wurzel{i-1} \ \right)^2$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 So 08.02.2009 | | Autor: | Muemo |
Hallo,
jetzt wird es langsam klar, ich will nicht kleinkariert sein, aber müsste es dann nicht heißen (z-c1)*(z+c1) anstatt (z-c1)*(z-c2)? Würde mir für mein Verständnis sehr helfen.
Und für den Fall der 3 Nullstellen, habe ich doch wieder die Form [mm] (z-c1)*(z+c2)*(|z|^{2}+\alpha)? [/mm] Jetzt muss ich das [mm] \alpha [/mm] so wählen, dass die dritte Klammer auch 0 wird und somit habe ich meine 3 Nullstellen?
Wie komm ich auf ein [mm] \alpha [/mm] für das meine Klammer 0 ergibt?
Mein Gedanke ist: [mm] (x^{2}+y^{2}+\alpha)=0 [/mm] für [mm] \alpha=-z? [/mm]
Grüße
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Hallo Florian,
> Hallo,
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> jetzt wird es langsam klar, ich will nicht kleinkariert
> sein, aber müsste es dann nicht heißen (z-c1)*(z+c1)
> anstatt (z-c1)*(z-c2)? Würde mir für mein Verständnis sehr
> helfen.
Hier ja, leduarts Bezeichnung meint einfach die Linearzerlegung des quadratischen Terms in $(z-1.NST)(z-2.NST)$, wie üblich halt, also hier speziell [mm] $c_2=-c_1$ [/mm] 
>
> Und für den Fall der 3 Nullstellen, habe ich doch wieder
> die Form [mm](z-c1)*(z+c2)*(|z|^{2}+\alpha)?[/mm] Jetzt muss ich das
> [mm]\alpha[/mm] so wählen, dass die dritte Klammer auch 0 wird und
> somit habe ich meine 3 Nullstellen?
> Wie komm ich auf ein [mm]\alpha[/mm] für das meine Klammer 0
> ergibt?
>
> Mein Gedanke ist: [mm](x^{2}+y^{2}+\alpha)=0[/mm] für [mm]\alpha=-z?[/mm]
Hmm, naja, das z variiert doch, damit würdest du dem [mm] $\alpha$ [/mm] also keinen festen Wert zuweisen.
Wie schon gesagt, ist für [mm] $\alpha>0$ [/mm] die zweite Klammer stets positiv.
Wie sieht es denn für [mm] $\alpha=0$ [/mm] aus?
>
> Grüße
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 So 08.02.2009 | | Autor: | Muemo |
jop, genau! jetzt hats wieder klick gemacht! dankeschön!
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