Nullstellen und Extrempunkte < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 So 25.03.2007 | | Autor: | Kati216 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey Leute!
geg: [mm] f_a(x)=ax²(x-3)
[/mm]
Bestimmen die Nullstellen und die Extremwerte wenn [mm] a=-\bruch{3}{4}.
[/mm]
Ein Lösungsweg wäre super!
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 So 25.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kati,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wo sind denn Deine Ansätze / Ideen?
Für die Bestimmung der Nullstellen musst Du den Funktionsterm gleich Null setzen:
[mm] $f_a(x) [/mm] \ = \ [mm] a*x^2*(x-3) [/mm] \ = \ 0$
Nun wenden wir das Prinzip des Nullproduktes an, nach dem ein Produkt genau dann gleich Null wird, wenn (mind.) einer der Faktoren gleich null wird:
$a \ = \ 0$ oder [mm] $x^2 [/mm] \ = \ 0$ oder $(x-3) \ = \ 0$
Für die Extremwerte musst du zunächst die Ableitung bestimmen. Dafür empfehle ich, den Funktionsterm zunächst auszumultiplizieren:
[mm] $f_a(x) [/mm] \ = \ [mm] a*x^2*(x-3) [/mm] \ = \ [mm] a*x^3-3a*x^2$
[/mm]
Kannst Du hiervon die Ableitung bestimmen und anschließend die Nullstell(n) der Ableitung?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 So 25.03.2007 | | Autor: | Kati216 |
Hey Loddar!
Sorry, dass ich nicht gleich Ansätze gebracht habe, kommt nicht mehr vor!
Aber trotzdem Danke, dass du geantwortet hast!
Ok, den ersten Teil verstehe ich nicht so richtig, aber auf 0=ax³-3ax² bin ich auch gekommen. Ich kann jetzt x2 ausklammern 0=x²(ax-3a) und erhalte für [mm] x_1=0. [/mm] Dann. 0=ax-3a /:a und erhalte [mm] x_2=-3! [/mm] Ist das richtig so oder nicht!? Meine erste Ableitung lautet: fá(X)= 2ax?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 So 25.03.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
deine Funktion lautet:
[mm] f_{a}(x)=x^{2}(ax-3a) [/mm] da kann man zuerst wieder Klammern auflösen:
[mm] f_{a}(x)=ax^{3}-3ax^{2}
[/mm]
Und dann lautet die Ableitung:
[mm] f_{a}'(x)=3ax^{2}-6ax
[/mm]
> auf 0=ax³-3ax² bin ich auch gekommen. Ich kann jetzt x2
> ausklammern 0=x²(ax-3a) und erhalte für [mm]x_1=0.[/mm] Dann.
> 0=ax-3a /:a und erhalte [mm]x_2=-3![/mm] Ist das richtig so oder
> nicht!?
Das ist korrekt.
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 So 25.03.2007 | | Autor: | Kati216 |
Hey danke barsch!
Also gehe ich von der Gleichung aus, bei der ich ausgeklammert habe!
Da war ich mir nicht sicher.
Danke dafür!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 So 25.03.2007 | | Autor: | Kati216 |
Hey!
Ich habe jetzt die Nullstellen berechnet und die lauten [mm] S_x_1(0/0) [/mm] und [mm] S_x_2(-3/0) [/mm] und die Extrempunkte lauten TP(0/0) und HP (2/-4a)
Könnte das jemand überprüfen? Danke!
Denn die nächste Aufgabe dazu lautet: Berechne die Fläche A, die von Graphen f [mm] -\bruch{4}{3} [/mm] und der x-Achse eingeschlossen wird.
Ich bin mir nicht sicher wie ich an diese Aufgabe rangehen muss!
Setzt ich in meinem Hochpunkt [mm] -\bruch{4}{3} [/mm] für a ein, dann erhalte ich [mm] HP(2/\bruch{16}{3}. [/mm] Nutze ich diesen Punkt als Intervallgrenze??? Wenn nicht bitte ein Lösungsvorschlag!
Bitte um hilfe! Danke!
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Hi, Kati,
> Ich habe jetzt die Nullstellen berechnet und die lauten
> [mm]S_x_1(0/0)[/mm] und [mm]S_x_2(-3/0)[/mm]
Wie in meiner ersten Korrektur vermerkt, liegt die zweite Nullstelle bei x=+3.
> und die Extrempunkte lauten
> TP(0/0) und HP (2/-4a)
Da a = -3/4 ist, kannst Du für den Hochpunkt H(2 / 3) schreiben.
> Könnte das jemand überprüfen? Danke!
>
> Denn die nächste Aufgabe dazu lautet: Berechne die Fläche
> A, die von Graphen f [mm]-\bruch{4}{3}[/mm] und der x-Achse
> eingeschlossen wird.
>
> Ich bin mir nicht sicher wie ich an diese Aufgabe rangehen
> muss!
> Setzt ich in meinem Hochpunkt [mm]-\bruch{4}{3}[/mm] für a ein, dann
> erhalte ich [mm]HP(2/\bruch{16}{3}.[/mm] Nutze ich diesen Punkt als
> Intervallgrenze??? Wenn nicht bitte ein Lösungsvorschlag!
Soll den nun a= -3/4 oder a=-4/3 sein?
Jedenfalls sind die Grenzen des Integrals nicht durch den Hochpunkt bestimmt, sondern durch die NULLSTELLEN, also:
x=0 und x=3.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 So 25.03.2007 | | Autor: | Kati216 |
Danke Zwerglein!
Die Ableitungen habe ich auch so und den x-wert habe ich auch umgeändert, hatte einen kleinen Zeichenfehler, aber +3 ist richtig! Danke!
Also nutze ich für die Flächenberechnung die Intervallgrenzen 0 und 3, dann lautet meine Gleichung:
[mm] A=\integral_{0}^{3} [/mm] (ax³-3ax²), dx = [mm] (0,25ax^4-1ax³) [/mm] und dann die Intervalle einsetzen und ausrechnen?!
Ist das so richtig?
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Hallo Kati,
also ich habe nicht den gesamten post gelesen, aber wenn ich es richtig verstanden habe, sollst du die Fläche, die [mm] f_{-\bruch{4}{3}} [/mm] mit der x-Achse einschließt, berechnen.
Du hast das Integral direkt für ein allgemeines a berechnet und es stimmt! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Wenn du bei deiner Stammfunktion [mm] a=-\bruch{4}{3} [/mm] einsetzt und anschließend die Grenzen, dann hast du's schon
Also alles richtig gemacht ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
schachuzipus
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Hi, Kati,
> auf 0=ax³-3ax² bin ich auch gekommen. Ich kann jetzt x2
> ausklammern 0=x²(ax-3a) und erhalte für [mm]x_1=0.[/mm] Dann.
> 0=ax-3a /:a und erhalte [mm]x_2=-3![/mm] Ist das richtig so oder
> nicht!?
Ist nicht richtig!
[mm] x_{2} [/mm] = +3 wäre richtig!
Nach Loddars Tipp hättest Du zur Nullstellenrechnen besser nicht ausmultipliziert, sondern die einzelnen Faktoren des Produkts =0 gesetzt, denn merke:
Ein Produkt wird genau dann =0, wenn einer (mindestens) der Faktoren
=0 ist.
Bei Dir: [mm] ax^{2}*(x-3)=0 [/mm] <=> [mm] ax^{2} [/mm] = 0 [mm] \vee [/mm] (x-3)=0
Da [mm] a\not= [/mm] 0 folgt: [mm] x_{1/2}=0 [/mm] (doppelte Nullstelle!) und [mm] x_{3} [/mm] = 3.
Meine erste Ableitung lautet: fá(X)= 2ax?
Stimmt auch nicht, denn die 1. Ableitung Deiner Funktion ist:
[mm] f_{a}'(x) [/mm] = [mm] 3ax^{2} [/mm] - 6ax
und die 2. Ableitung:
[mm] f_{a}''(x) [/mm] = 6ax - 6a
mfG!
Zwerglein
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