Nullstellen von Sinusfunktione < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:44 Di 31.12.2013 | | Autor: | CrapWrap |
Hallo,
ich habe Probleme beim Errechnen der Nullstellen von Sinusfunktionen. Zunächst zu der Funktion f(x)= 1+2*sin(x):
Die erste Nullstelle ist durch f(x)=0 errechnet worden. Sie liegt bei [mm] x=-1/6*\pi.
[/mm]
Gibt es, um die folgenden Nullstellen zu berechnen, für Funktionen wie die obere, in denen die Sinusfunktion als Summand enthalten ist, eine allgemeine Formel, mit der sich die Länge einer Periode bestimmen lässt? Mit der Hälfte dieser Periode ließe sich dann ja auf die nachfolgenden Nullstellen schließen...
Ein weiteres Rätsel ist mir die Nullstellenberechnung der Funktion f(x)= [mm] sin(x^2). [/mm] Natürlich lässt sich über den arcsin und die Quadratwurzel die Nullstelle bei x=0 ermitteln, aber alle folgenden bzw. vorangegangenen...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.
Grüße,
Wrap
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Hallo CrapWrap, ein spätes ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Die Aufgabe(n) kannst Du ziemlich sicher selbst lösen. Schau Dir dazu nochmal die Periodizität der Sinusfunktion an.
> ich habe Probleme beim Errechnen der Nullstellen von
> Sinusfunktionen. Zunächst zu der Funktion f(x)=
> 1+2*sin(x):
> Die erste Nullstelle ist durch f(x)=0 errechnet worden.
> Sie liegt bei [mm]x=-1/6*\pi.[/mm]
> Gibt es, um die folgenden Nullstellen zu berechnen, für
> Funktionen wie die obere, in denen die Sinusfunktion als
> Summand enthalten ist, eine allgemeine Formel, mit der sich
> die Länge einer Periode bestimmen lässt?
Das ist erstaunlich schwierig und unzuverlässig. Man muss sicher sein, alle möglichen Additionstheoreme etc. ausgeschöpft zu haben.
An sich sieht es aber gar nicht so mühsam aus. Du betrachtest "einfach" den [mm] \ggT [/mm] aller vorkommenden Vielfachen von x in den Argumenten der trigonometrischen Funktionen (oder wie auch immer x dann gerade heißt  ).
Das Problem sind die nicht so offensichtlichen Vereinfachungen. [mm] f(x)=2\sin{(x)}\cos{(x)} [/mm] hat die Periodenlänge [mm] \pi. [/mm] Das "sieht" man aber nur, wenn man erkennt, dass [mm] f(x)=\sin{(2x)} [/mm] gilt.
> Mit der Hälfte
> dieser Periode ließe sich dann ja auf die nachfolgenden
> Nullstellen schließen...
>
> Ein weiteres Rätsel ist mir die Nullstellenberechnung der
> Funktion f(x)= [mm]sin(x^2).[/mm] Natürlich lässt sich über den
> arcsin und die Quadratwurzel die Nullstelle bei x=0
> ermitteln, aber alle folgenden bzw. vorangegangenen...
Na, auch das bekommst Du über die Periodizität der Sinusfunktion selbst heraus. Die Periodenlänge des Sinus ist halt [mm] 2\pi.
[/mm]
> Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.
Können wir, aber Du musst auch ein bisschen selbst denken.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Di 31.12.2013 | | Autor: | CrapWrap |
Hallo,
dass die Funktion des ersten Falls (f(x)=1+2*sin(x)) durch (f(x)= 1+ 2 *sin(x) gedehnt bzw. in Richtung positiver y-Werte verschoben wird, bereitet mir bzgl. der Periodizität Probleme.
Für allgemeine Sinus- und Kosinusfunktionen (a*sin(b*x+c) bzw. a*cos(b*x+c)) gilt ja für die Periodenlänge P= [mm] 2*\pi/b. [/mm] Dass in der Form b der einzige Faktor ist, der Einfluss auf dieses Eigenschaft hat, ist mir auch bewusst, da a und c die Funktion zwar "umpositionieren", aber die Länge selbst nicht verändern.
Was ich nun suche, ist eine analoge Gleichung, die den Summanden (im obigen Fall +1) berücksichtigt.
Ich wüsste leider keinen anderen Weg, folgende Nullstellen in solch einer Summe zu berechnen.
Bei f(x)= [mm] sin(x^2) [/mm] über die Periodizität an die nachfolgenden Nullstellen gelangen, stell ich mir, nachdem ich die Funktion in einen Plotter geworfen habe, äußerst schwierig vor, weil die Perioden ja gegen [mm] \pm [/mm] oo immer schmaler werden.
Noch eine kleine Frage am Rande:
Es ist doch immer gültig, dass man bei Funktionen der allg. Form, bspw. a*sin(b*x+c), nach Errechnen der ersten Null-, Extrem- und Wendestelle einfach nur die Hälfte der Periodenlänge, also [mm] (2*\pi/b)/2 [/mm] * k, wobei k [mm] \in \IZ [/mm] ist, addieren oder subtrahieren muss, um die restlichen Stellen zu errechnen, oder?
Nen juten Rutsch,
Wrap
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Di 31.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> dass die Funktion des ersten Falls (f(x)=1+2*sin(x)) durch
> (f(x)= 1+ 2 *sin(x) gedehnt bzw. in Richtung positiver
> y-Werte verschoben wird, bereitet mir bzgl. der
> Periodizität Probleme.
> Für allgemeine Sinus- und Kosinusfunktionen (a*sin(b*x+c)
> bzw. a*cos(b*x+c)) gilt ja für die Periodenlänge P=
> [mm]2*\pi/b.[/mm] Dass in der Form b der einzige Faktor ist, der
> Einfluss auf dieses Eigenschaft hat, ist mir auch bewusst,
> da a und c die Funktion zwar "umpositionieren", aber die
> Länge selbst nicht verändern.
> Was ich nun suche, ist eine analoge Gleichung, die den
> Summanden (im obigen Fall +1) berücksichtigt.
> Ich wüsste leider keinen anderen Weg, folgende Nullstellen
> in solch einer Summe zu berechnen.
>
> Bei f(x)= [mm]sin(x^2)[/mm] über die Periodizität an die
> nachfolgenden Nullstellen gelangen, stell ich mir, nachdem
> ich die Funktion in einen Plotter geworfen habe, äußerst
> schwierig vor, weil die Perioden ja gegen [mm]\pm[/mm] oo immer
> schmaler werden.
Du schluderst etwas mit dem Begriff "Periode". In dem von dir beschrieben Vorgang hat man keine sich in einem konstanten Abstand wiederholenden Verläufe. Was du meinst sind so etwas wie "Halbwellen" (die werden immer kürzer).
>
> Noch eine kleine Frage am Rande:
> Es ist doch immer gültig, dass man bei Funktionen der
> allg. Form, bspw. a*sin(b*x+c), nach Errechnen der ersten
> Null-, Extrem- und Wendestelle einfach nur die Hälfte der
> Periodenlänge, also [mm](2*\pi/b)/2[/mm] * k, wobei k [mm]\in \IZ[/mm] ist,
> addieren oder subtrahieren muss, um die restlichen Stellen
> zu errechnen, oder?
>
> Nen juten Rutsch,
> Wrap
Hallo,
"allg. Form, bspw. a*sin(b*x+c)" ist ein Widerspruch in sich.
Die allgemeinste Form ist a*sin(b*x+c)[mm]\red{+d}[/mm], und da gilt das von dir Geschriebene nicht.
Für deine spezielle Form (ohne "+d") hast du einigermaßen Recht. Da wiederholen sich Null-, Extrem- und Wendestellen tatsächlich nach einer halben Periode. ABER: Nach einer Minimumstelle kommt die nächste Minimumstelle erst nach einer ganzen Periode (nach einer halben kommt erst mal eine Maximumstelle).
Ähnliches gilt für Wendestellen. Eine Wendestelle, bei der eine Links- in eine Rechtskurve übergeht, wiederholt sich erst nach einer vollen Periodenlänge (zwischendrin ist der umgekehrte Übergang).
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Di 31.12.2013 | | Autor: | CrapWrap |
Schonmal viele Dank.
Wie kann man denn dann Nullstellen jener Funktionen errechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Di 31.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Schonmal viele Dank.
>
> Wie kann man denn dann Nullstellen jener Funktionen
> errechnen?
Hallo,
du kannst doch
1+2*sin(x)=0 umstellen zu
2*sin(x)=-1
sin(x)=-0,5.
Diese Gleichung hat (am Einheitkreis) je eine (sehr elementare) Lösung im 3. und 4. Quadranten, und diese Lösungen wiederholen sich alle [mm] 2$\pi$.
[/mm]
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Mi 01.01.2014 | | Autor: | CrapWrap |
Hallo,
ja, daraus geht hervor, dass die "erste" Nullstelle bei [mm] -1/6*\pi [/mm] liegt.
Zwischen den Nullstellen [mm] -1/6*\pi [/mm] und [mm] -1/6*\pi [/mm] + [mm] 2*\pi [/mm] liegt aber noch eine weitere, die ich nicht zu errechnen weiß.
Wie kann ich denn generell die Periodenlänge solcher Funktionen ermitteln? Gilt für Funktionen in der Form a*sin(b*x+c)+d für die Periodenlänge auch [mm] 2*\pi/b?
[/mm]
Hat jemand einen Rat für die Nullstellen der Funktion f(x) = [mm] sin(x^2)?
[/mm]
Grüße,
Wrap
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Hallo CrapWrap,
> Hallo,
>
> ja, daraus geht hervor, dass die "erste" Nullstelle bei
> [mm]-1/6*\pi[/mm] liegt.
> Zwischen den Nullstellen [mm]-1/6*\pi[/mm] und [mm]-1/6*\pi[/mm] + [mm]2*\pi[/mm]
> liegt aber noch eine weitere, die ich nicht zu errechnen
> weiß.
> Wie kann ich denn generell die Periodenlänge solcher
> Funktionen ermitteln? Gilt für Funktionen in der Form
> a*sin(b*x+c)+d für die Periodenlänge auch [mm]2*\pi/b?[/mm]
>
Ja, natürlich.
> Hat jemand einen Rat für die Nullstellen der Funktion f(x)
> = [mm]sin(x^2)?[/mm]
>
Nun, der Sinus ist [mm]2\pi[/mm]-periodisch.
Damit sind die Lösungen der Gleichung
[mm]x^{2}=k*\pi[/mm]
Nullstellen der genannten Funktion.
> Grüße,
> Wrap
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Do 02.01.2014 | | Autor: | CrapWrap |
Hat denn jemand eine Idee, wie die Nullstellen von Funktionen der Form a*sin(b*x+c)+d bzw. a*cos(b*x+c)+d, die zwischen den zwei bereits erwähnten, eine Periode einschließenden Nullstellen liegen, zu errechnen sind?
Grüße,
Wrap
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Hallo CrapWrap,
> Hat denn jemand eine Idee, wie die Nullstellen von
> Funktionen der Form a*sin(b*x+c)+d bzw. a*cos(b*x+c)+d, die
> zwischen den zwei bereits erwähnten, eine Periode
> einschließenden Nullstellen liegen, zu errechnen sind?
Na, Du arbeitest Dich von außen an das Argument der Funktion heran...
[mm] \sin{(bx+c)}=-\bruch{d}{a}
[/mm]
[mm] bx+c=\arcsin{\left(-\bruch{d}{a}\right)}
[/mm]
etc.
Dabei solltest Du Dir aber bei jedem Schritt genau überlegen, wann er zulässig ist, und vor allem, ob durch den Rechenschritt vielleicht Lösungen verloren gehen oder sogar dazukommen.
Grüße
reverend
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