Nullstellen, warum konjugiert? < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:37 So 08.11.2009 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | [mm] p(z)=z^4-6z^3+18z^2-30z+25
[/mm]
Bestimmen Sie die Nullstellen. Hinweis, hat ein reelles Polynom eine Nullstelle z, so ist [mm] \overline{z} [/mm] ebenfalls Nullstelle.
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Hi Leute :)
Habe die Nullstellen geraten und den Hinweis genutzt, bin daher auf
1+2i
1-2i
2+i
2-i
gekommen, was ich durchs Hornerschema bestätigen konnte..
Jetzt meine Frage, warum gilt das? Liegt es an der "spiegelung" an der Reellen Achse oder ist es nur algebraisch (z.B. über den Fundamentalsatz der Algebra) machbar? Könnte ich die Nullstellen überhaupt einzeichnen, oder kann ich eine Funktion in der Gaußschen Zahlenebene zeichnen?
Danke für Antwort im Voraus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:02 So 08.11.2009 | | Autor: | qsxqsx |
...ich würde mal sagen man kann es auf zwei Arten zeigen. Einmal die Spiegelung am Kreis...die mit den Winkeln zu tun hat...
und zweitens weil [mm] i^2 [/mm] = -1 ist, (wenn etwas mit einer geraden Zahl potenziert wird, geht ja das vorzeichen verloren...jetzt kehrst du das einfach wieder um...)
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Das liegt daran, dass das Konjugieren bezüglich +, -, * und / distributiv ist, also
[mm] \overline{a \odot b}= \overline{a}\odot\overline{b},
[/mm]
wobei [mm] \odot [/mm] für eine der Grundrechenarten steht. Weil dies auch für * gilt, gilt es auch für das Potenzieren.
Nimm an, du hast eine Lösung z für die Nullstelle eines Polynoms f(x)= [mm] \summe_{i=0}^{n} a_ix^i [/mm] , alle [mm] a_i [/mm] reell, gefunden. also ist
f(z)= [mm] \summe_{i=0}^{n} a_iz^i [/mm] = 0.
nun konjugierst du beide Seiten:
[mm] \overline{\summe_{i=0}^{n} a_iz^i} [/mm] = [mm] \overline{0}=0.
[/mm]
Links kannst du nun wegen der Distributivität den Strich verteilen:
[mm] \overline{\summe_{i=0}^{n} a_iz^i} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} \overline{a_iz^i} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} \overline{a_i}\overline{z^i} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} a_i\overline{z^i} [/mm] (da die [mm] a_i [/mm] reell sind) = [mm] \summe_{i=0}^{n} a_i\overline{z}^i [/mm] =0.
Also ist auch [mm] \overline{z} [/mm] eine Nullstelle.
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