Nullstellenberechnung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe eine Frage bezüglich der Berechnung der Nullstellen eines Polynoms dritten Grades.
Das Polynom lautet [mm] x^3-x^2-64=0
[/mm]
Nun habe ich versucht mit der Cardanosche Formel, erklärt auf der Seite http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/kubisch.html, die Nullstellen zu berechnen. Doch ich komme einfach nicht auf die richtige erste Lösung, die ja wichtig ist um die anderen Lösungen per Polynomdivision zu berechnen.
Meine Lösung lautet x=-3,69597591, doch die Probe ergibt eine geringe Abweichung und ich kann mir einfach nicht erklären woher diese kommt, da ich es intensiv nachgerechnet habe.
Ich hoffe es kann mir jemand helfen, ich verzweifle sonst noch ;)
Hoffentlich habe ich das richtige Forum für meinen ersten Beitrag ausgewählt.
mfg info-tronic
|
|
| |
|
Hallo info-tronic,
Die kleine Abweichung kommt daher, dass der Wert gerundet ist. Laut MAPLE sind die exakten Nullstellen:
1/3*(865+24*sqrt(1299))^(1/3)+1/3*1/((865+24*sqrt(1299))^(1/3))+1/3, -1/6*(865+24*sqrt(1299))^(1/3)-1/6*1/((865+24*sqrt(1299))^(1/3))+1/3+1/2*I*sqrt(3)*(1/3*(865+24*sqrt(1299))^(1/3)-1/3*1/((865+24*sqrt(1299))^(1/3))), -1/6*(865+24*sqrt(1299))^(1/3)-1/6*1/((865+24*sqrt(1299))^(1/3))+1/3-1/2*I*sqrt(3)*(1/3*(865+24*sqrt(1299))^(1/3)-1/3*1/((865+24*sqrt(1299))^(1/3)))
Ich hoffe, das ist noch einigermaßen lesbar. In der ersten Zeile steht die reele NS, darunter die beiden komplexen.
Liebe Grüße,
Holy Diver
|
|
|
| |
|
Hallo und erstmal vielen Dank für deine Antwort.
Die korrekte Lösung habe ich auch mit einem Java applet ausrechen lassen, mich interessiert dennoch mehr der Lösungsweg, da ein Rundungsfehler ausgeschlossen ist, da ich an keiner Stelle meiner Rechnung gerundet habe.
Könnte mir vielleicht jemand einen Lösungsweg vorzeigen, das würde mir wirklich viel weiterhelfen.
Vielen Dank.
|
|
|
| |
|
Hallo.
> Hallo und erstmal vielen Dank für deine Antwort.
>
> Die korrekte Lösung habe ich auch mit einem Java applet
> ausrechen lassen, mich interessiert dennoch mehr der
> Lösungsweg, da ein Rundungsfehler ausgeschlossen ist, da
> ich an keiner Stelle meiner Rechnung gerundet habe.
>
> Könnte mir vielleicht jemand einen Lösungsweg vorzeigen,
> das würde mir wirklich viel weiterhelfen.
>
> Vielen Dank.
Zunächst einmal machst Du automatisch einen Rundungsfehler, wenn Du eine  irrationale Zahl auf eine endliche Stellenanzahl angibst.
Aber einen Lösungsweg nach Cardano kannst Du gern haben:
Deine Gleichung war ja: [mm] $x^3-x^2-64=0$.
[/mm]
Wenn man von der Normalform [mm] $ax^3+bx^2+cx+d=0$ [/mm] ausgeht, haben wir also $a=1$, $b=-1$, $c=0$ und $d=-64$.
Setze nun [mm] $p:=\frac{3ac-b^2}{9a^2}=-\frac{1}{9}$, $q:=\frac{b^3}{27a^3}-\frac{bc}{6a^2}+\frac{d}{2a}=-\frac{1}{27}-\frac{64}{2}=-\frac{865}{27}$, [/mm]
dann ist nach Cardano die reelle Lösung (existiert immer!):
[mm] $x_1=\sqrt[3]{-q+\sqrt{q^2+p^3}}+\sqrt[3]{-q-\sqrt{q^2+p^3}}-\frac{b}{3}$
[/mm]
[mm] $=\sqrt[3]{\frac{865}{27}+\sqrt{(-\frac{865}{27})^2+(-\frac{1}{9})^3}}+\sqrt[3]{\frac{865}{27}-\sqrt{(-\frac{865}{27})^2+(-\frac{1}{9})^3}}+\frac{1}{3}$
[/mm]
[mm] $=\sqrt[3]{\frac{865}{27}+\frac{8\sqrt{1299}}{9}}+\sqrt[3]{\frac{865}{27}-\frac{8\sqrt{1299}}{9}}+\frac{1}{3}$
[/mm]
Weiter läßt sich das wohl leider nicht vereinfachen...
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
Hallo und erstmal vielen Dank für deine Antwort.
Ich nehme mal an die Formel für die erste reelle Lösung findet man in einem Formelbuch o.A.
Jedoch habe ich nun die Probe mit deinem Ergebnis durchgeführt und es kann irgendwie nicht stimmen, hast du selbst auch eine Probe gemacht?
Wo könnte der Fehler liegen?
|
|
|
| |
|
Hab nochmal genau nachgesehen...
Die Probe kann ja nicht stimmen!
Entschuldigung.
Formal führt man zur Lösung die Substitution [mm] $y:=x-\frac{b}{3}=x-\frac{1}{3}$ [/mm] durch, hinterher muß man natürlich aufpassen, daß man auch die Resubstitution durchführt, man hat also de facto [mm] $x_1=u+v-\frac{b}{3}$, [/mm] ich habe meine Lösung dahingehend korrigiert.
Du solltest übrigens aufpassen mit den Internetseiten, die Du zu diesem Thema findest, das wird nicht überall verläßlich erklärt.
Wenn man das Englische nicht scheut, bietet ![[]](/images/popup.gif) Mathworld eine durchaus verläßliche und verständliche Herleitung.
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
Vielen Dank die Probe stimmt nun ich werde mal versuchen eine vernünftige Herleitung dieser Formel zu finden, ansonsten ist es ja doof ;)
mfg.
|
|
|
|
