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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Ztirom |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion:
f (x) = [mm] \bruch{x^{3}}{4} [/mm] - 3x + 4
i) Berechnen Sie die Nullstellen und Extremwerte (Art des Extremums
überprüfen!). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich habe folgendes Problem: Ich habe die oben geschriebene Funktion und soll Nullstellen etc. berechnen. Leider bin ich hier schon extrem eingerostet und brauche deshalb einen kleinen Gedankenanstoß :)
Also wie gesagt, habe die Funktion: f (x) = [mm] \bruch{x^{3}}{4} [/mm] - 3x + 4
Zur Berechnung der Nullstelle muss ich die ganze Funktion nun Null setzen und x= ausrechnen.
Dann habe ich:
0 = [mm] \bruch{x^{3}}{4} [/mm] - 3x + 4
Da ich hier keine Möglichkeit habe x durch eine Äquivalenzumformung alleine hinzustellen oder die ABC-Formel [mm] (ax^2+bx+c) [/mm] zu benutzen muss ich die erste Nullstelle raten. Daher haben wir die erste Nullstelle bei NST1 (2|0).
Da ich ein x³ habe, weiß ich, dass es eine weitere Nullstelle gibt. Jetzt habe ich durch die erste Nullstelle die möglichkeit eine Polynomdivision durchzuführen. Und genau hier hört mein Mathematikwissen auf.
Die Polynomdivision Lautet also, weil die Nullstelle bei x=2 liegt:
[mm] (\bruch{x^{3}}{4} [/mm] - 3x + 4) : (x - 2)
Laut Lösung liegt diese bei NST2 (-4|0).
Den bruch kann ich wegbekommen, in dem ich alles mit 4 erweitere also
[mm] (x^3 [/mm] - 12x + 16) : (4x - 8) =
Kann ich diese Polynomdivision ausrechnen? Eben bei diesen Online-Rechnern habe ich immer [mm] x^3+x^2+x^1 [/mm] : x + 1 = (also immer mit absteigender Hochzahl gesehen)
Auch hier kann ich wieder weder ABC-Formel noch sonstiges Anwenden. Könnt ihr mir vl. einen Denkanstoß geben damit ich die Lösung bekomme?
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> Gegeben ist die Funktion:
> f (x) = [mm]\bruch{x^{3}}{4}[/mm] - 3x + 4
> i) Berechnen Sie die Nullstellen und Extremwerte (Art des
> Extremums
> überprüfen!).
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
>
> Ich habe folgendes Problem: Ich habe die oben geschriebene
> Funktion und soll Nullstellen etc. berechnen. Leider bin
> ich hier schon extrem eingerostet und brauche deshalb einen
> kleinen Gedankenanstoß :)
>
> Also wie gesagt, habe die Funktion: f (x) =
> [mm]\bruch{x^{3}}{4}[/mm] - 3x + 4
>
> Zur Berechnung der Nullstelle muss ich die ganze Funktion
> nun Null setzen und x= ausrechnen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann habe ich:
>
> 0 = [mm]\bruch{x^{3}}{4}[/mm] - 3x + 4
>
> Da ich hier keine Möglichkeit habe x durch eine
> Äquivalenzumformung alleine hinzustellen oder die
> ABC-Formel [mm](ax^2+bx+c)[/mm] zu benutzen muss ich die erste
> Nullstelle raten. Daher haben wir die erste Nullstelle bei
> NST1 (2|0).
man hätte aber der Schönheit halber mit 4 multiplizieren können :=
>
> Da ich ein x³ habe, weiß ich, dass es eine weitere
> Nullstelle gibt. Jetzt habe ich durch die erste Nullstelle
> die möglichkeit eine Polynomdivision durchzuführen. Und
> genau hier hört mein Mathematikwissen auf.
na immerhin ;)
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> Die Polynomdivision Lautet also, weil die Nullstelle bei
> x=2 liegt:
>
> [mm](\bruch{x^{3}}{4}[/mm] - 3x + 4) : (x - 2)
>
> Laut Lösung liegt diese bei NST2 (-4|0).
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier verstehe ich nicht, was du sagen möchtest. Polynomdivision soll uns eine Gleichung vom Grad n-1 liefern. Wir haben eine Gleichung 3. Grades und eine NST, also können wir dank Polynomdivision eine GLeichung 2. Grades erhalten. Diese lautet [mm] $x^2+2x-8$. [/mm] Einfach schriftlich dividieren, also [mm] x^2*x [/mm] ist [mm] x^3, x^2*(-2)=-2x^2 [/mm] und dass dann abziehen und den nächsten Schritt beginnen. Du erhälst dadurch aber noch keine NST. Zunächst musst du erstmal von der Gleichung 2. Grades die NST jetzt mittels p-q-Formel bestimmen.
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> Den bruch kann ich wegbekommen, in dem ich alles mit 4
> erweitere also
>
> [mm](x^3[/mm] - 12x + 16) : (4x - 8) =
>
Das wird doch jetzt unglaublich kompliziert die 4 wegzubekommen. Rechne lieber [mm] $(x^3-12x+16):(x-2)$. [/mm] Das sieht besser aus ;) Du kannst am Anfang mit 4 ohne Probleme erweitern, da du die Gleichung f(x)=0 hast, also bringe immer die Ausgangsgleichung auf eine schöne Form. Zwar ist es dann eine andere Funktion, aber beide haben die selben NST. Du kannst auch deine Polynomdivision nehmen, erfordert dann aber Umgang mit Brüchen und all so ein Zeug, völlig unnötig, einfach mit meiner Variante rechnen ;)
> Kann ich diese Polynomdivision ausrechnen? Eben bei diesen
> Online-Rechnern habe ich immer [mm]x^3+x^2+x^1[/mm] : x + 1 = (also
> immer mit absteigender Hochzahl gesehen)
Kannst du. Entweder du nutzt die Ausgangsgleichung oder die erweiterte mit 4, in jedem Falle aber geteilt durch (x-2). Aber ich weiß nicht, was mir deine Gleichung sagen soll....Also wenn du nicht weißt, wie Polynomdivision geht, such bitte im Internet oder in einem Lehrbuch eine gute Erklärung oder schau hier im Vorwissen nach. Das aufzuschreiben sieht immer chaotisch aus. Im Grunde ist es wie schriftliche Division, siehe oben!
Kurze Anleitung: Du willst wissen: Was multipliziert mit (x-2) ergibt den ersten Term: [mm] x^3. [/mm] Nun [mm] x^2 [/mm] mal x ergibt [mm] x^3, [/mm] also ist unser erster Term [mm] x^2. [/mm] Dann erhalten wir [mm] x^3-2x^2. [/mm] Das ziehen wir jetzt von der linken Seite ab. Also praktisch [mm] x^3-x^3+2x^2=2x^2. [/mm] Jetzt dazu wenn du willst noch die -12x. Dann das Spiel von vorn. Was ergibt [mm] 2x^2? [/mm] Offenbar 2x, also erhalten wir [mm] 2x^2-4x. [/mm] Das abgezogen von [mm] 2x^2-12x: 2x^2-12x-2x^2+4x=-8x. [/mm] Letzter Schritt:-8x+16. Was ergibt -8x? Offenbar -8. Also erhalten wir -8x+16. Abgezogen von -8x+16 ergibt 0. Polynomdivision korrekt durchgeführt, da eine Division durch eine NST immer 0 ergeben muss. Gleichung 2. Grades lautet also: [mm] $x^2+2x-8$.
[/mm]
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> Auch hier kann ich wieder weder ABC-Formel noch sonstiges
> Anwenden. Könnt ihr mir vl. einen Denkanstoß geben damit
> ich die Lösung bekomme?
>
Wie gesagt, die Lösung der Polynomdivision steht ja oben, dann einfach p-q-Formel. Im Internet findest du mit Sicherheit sehr schnell eine schöne Erklärung, wie man eine Polynomdivision ausrechnet, das sollte dich vor keine Probleme stellen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Ztirom |
Danke für die schnelle und sehr ausführliche Antwort!
Gut, dass wenigstens mein Lösungsansatz stimmt. :)
Nur noch zum vergewissern:
Wenn ich vor der Polynomdivision mit 4 erweitere, kann ich dann trotzdem durch x - 2 dividieren, weil du ja nur erweitert hast, die lösung bleibt die selbe, auch wenn ich die x - 2 nicht mit 4 erweitere?
"Polynomdivision korrekt durchgeführt, da eine Division durch eine NST immer 0 ergeben muss." - Danke, hab ich auch nicht gewusst, wird mir bestimmt noch nützlich sein :)
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> Danke für die schnelle und sehr ausführliche Antwort!
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> Gut, dass wenigstens mein Lösungsansatz stimmt. :)
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> Nur noch zum vergewissern:
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> Wenn ich vor der Polynomdivision mit 4 erweitere, kann ich
> dann trotzdem durch x - 2 dividieren, weil du ja nur
> erweitert hast, die lösung bleibt die selbe, auch wenn ich
> die x - 2 nicht mit 4 erweitere?
>
korrekt. Alle Vielfachen der Ausgangsfunktion besitzen dieselben NST. Nimm dir z.B. f(x)=x. NST ist natürlich bei x=0. Was ist mit f(x)=ax, wobei a beliebig reell sein darf? Offenbar gehen auch die alle durch 0. Deine NST verändern sich nicht durch eine Multiplikation der Terme, da dies lediglich eine Streckung hervorruft. Anders argumentiert kannst du auch sagen, wie ich bereits getan habe, dass du ja von f(x)=0 für die NST-Berechnung ausgehst. Und natürlich kannst du die linke seite mit allem mal nehmen, da 0 mal irgendetwas 0 bleibt, sind alle GLeichungen identisch. Wie gesagt, nicht die Funktionen! Aber ihre NST ;) Dein Ansatz war auch nicht falsch, wie ich zuerst dachte, auch mit deiner Variante kommt das richtige raus, natürlich darfst du einen Bruch mit beliebigen Zahlen erweitern oder kürzen. Aber du erschwerst dir die Berechnung. Auch wenn du ganz korrekt warst, da du die Ausgangsfunktion nicht verändert hast. Was ich getan habe, ist mit einer "schöneren" Funktion zu rechnen, die 4 mal größer als die eigentliche Funktion ist, aber die selben NST besitzt. Darum geht das. Du hast auch mit der 4-fach größeren gerechnet, aber eben auch durch die 4fache-NST geteilt und das bleibt so schwierig wie wenn du es gleich gelassen hättest ;) Also kurz: ja
> "Polynomdivision korrekt durchgeführt, da eine Division
> durch eine NST immer 0 ergeben muss." - Danke, hab ich auch
> nicht gewusst, wird mir bestimmt noch nützlich sein :)
Na aber hallo! Das ist dein Lebensretter in allen Lagen ;) Das liegt daran, dass jedes Polynom vom Grad n in maximal n NST als Linearkombination zerfällt, bzw. anders ausgedrückt: Du kannst jedes Polynom als Produkt seiner NST darstellen. Also für [mm] x^2 [/mm] : [mm] (x-0)*(x-0)=x^2. [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Ztirom |
Okay, danke :) Extremwerte schaff ich dann doch hoffentlich so. Und wenn nicht frag ich wieder, aber ich danke dir recht herzlich, hast mir super geholfen!
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