Nullstellenberechnung Fkt. 4.° < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] y=f(x)=-1/2x^4+3x² [/mm] |
Hallo,
ich wollte gerade o.g. Aufgabe bearbeiten. Los ging es mit Nullstellen, doch schon dort bin ich verzweifelt. Egal wie ich bekomme 0 und 6 als Nullstellen raus. Könnte mir jemand den Lösungsweg detailiert zeigen, leider habe ich nicht soviel Zeit meinen Weg hier einzustellen bzw. wäre das nicht vor morgen möglich.
Vielen Dank - ihr helft mir sehr!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Guedeltubus!
> leider habe ich nicht soviel Zeit meinen Weg hier einzustellen bzw. wäre das
> nicht vor morgen möglich.
Hm, aber Hilfe heute bzw. sofort ist schon erwünscht? ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Klammere bei dem Funktionsterm [mm] $-\bruch{1}{2}*x^2$ [/mm] aus. Anschließend ddas Prinzip des Nullproduktes anwenden.
Damit ergeben sich als Nullstellen:
[mm] $$x_1 [/mm] \ = \ 0 \ \ \ [mm] \text{und} [/mm] \ \ \ [mm] x_{2/3} [/mm] \ = \ [mm] \pm\wurzel{6}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]y=f(x)=-1/2x^4+3x²[/mm]
> Hallo,
>
> ich wollte gerade o.g. Aufgabe bearbeiten. Los ging es mit
> Nullstellen, doch schon dort bin ich verzweifelt. Egal wie
> ich bekomme 0 und 6 als Nullstellen raus...
wie sieht denn Deine Rechnung dazu aus? Neben Loddars Vorschlag kann man auch so rechnen:
$$f(x)=0$$
[mm] $$\gdw -\frac{1}{2}x^4+3x^2=0\,.$$
[/mm]
Jetzt kann man, sofern [mm] $x^2 \not=0$ [/mm] ist, durch [mm] $x^2$ [/mm] dividieren, also gilt für [mm] $x\not=0$:
[/mm]
$$f(x)=0$$
[mm] $$\gdw -\frac{1}{2}x^4+3x^2=0$$
[/mm]
[mm] $$\underset{\text{sofern }x \not=0}{\gdw} -\frac{1}{2}x^2+3=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \frac{1}{2}x^2=3$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x^2=6$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x^2-6=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x^2-\sqrt{6}^{\,2}=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x=\pm \sqrt{6}\,.$$
[/mm]
Also gilt für $x [mm] \in \IR \setminus \{0\}\,,$ [/mm] dass $f(x)=0$ [mm] $\gdw$ $x=\pm \sqrt{6}\,.$ [/mm] Ferner erkennt man sofort, dass auch [mm] $0\,$ [/mm] eine Nullstelle für [mm] $f\,$ [/mm] ist, da
[mm] $$f(0)=-\frac{1}{2}*0^4+3*0^2=0+0=0\,.$$
[/mm]
Also gilt:
[mm] $x\,$ [/mm] löst $f(x)=0$ genau dann, wenn $x [mm] \in \{-\sqrt{6},\;0,\;\sqrt{6}\}\,.$
[/mm]
Aber Loddars Vorschlag ist eleganter (da ein Produkt endlich vieler Zahlen genau dann [mm] $0\,$ [/mm] ist, wenn mindestens einer der Faktoren [mm] $0\,$ [/mm] ist). Diesen Weg hier könnte man aber auch rechtfertigen für jemanden, der vll. Probleme mit dem Faktorisieren hat...
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank für eure schnellen Antworten. *niederknie*
Ich könnt mich Ohrfeigen - ich habe falsch ausgeklammert (6x statt 6) und damit wars falsch.
also nochmals vielen Dank!
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