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Geben sie alle reellen Zahlen c an, für die die Gleichung c = fk(x) genau zwei Lösungen x1 und x2 hat! fk(x)=(1/k)x-xlnx....weiß jemand wie ich das lösen soll? Also ich hab keine Idee dafür... ich würde irgendwie was mit limes machen aber das is falsch....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi!!
Bin mir grad nicht ganz sicher, ob das funktioniert, aber möglicherweise so:
c = x/k - xln(x)
kc = x - xkln(x)
kc = x (1-kln(x))
Und nun mal untersuchen in welchen bereichen sich g = x (1-klnx) bewegt. Unter umständen solltest du da mal das Maximum genauer betrachten und wo in welchem Bereich sich die Funktion davor und dahinter bewegt - soweit denn eins existiert. In dem Bereich in dem beide Teile bewegen, muss sich dann auch kc befinden, damit es zwei Lösungen gibt. (Das ist ja quasi eine Gerade, die g zweimal schneiden soll).
Hoffe, das bringt dich etwas weiter
Gruß Tran
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ich hab selbst so nen ansatz entwickelt aber weiß au ni weiter und deine idee klingt mir zu schwer für einen in der 12. klasse mathe :)
x1= 0 und x2 = e^(1/k)
also irgendwie mit c muss 0 sein aber es sollen ja reelle zahlen angegeben werden.... mhm ich habe keine ahnung
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Hab grad nochmal ein bisschen Zeit gefunden, das näher zu betrachten.
Das klappt eigentlich wunderbar und ich glaub wir haben im LK letztes Jahr auch durch basteln probiert, zu lösen, frei nach dem Motto, was nicht passt, wird passend gemacht!
Also, wenn du bei c = x/k-xlnx
nur [mm] f_{k}(x)= [/mm] x/k - xlnx betrachtest, wirst du feststellen, dass gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0}f_{k}(x) [/mm] = 0 und, dass das Maximum Bei M(p/q) liegt (wo das ist, verate ich jetzt mal nicht). Danach wird [mm] f_{k}(x) [/mm] nur noch Fallen ( begründung wäre schon gut!!), d.h. eine Paralelle zur x-Achse wir nur im Bereich y = [0,q[ [mm] f_{k}(x) [/mm] zweimal schneiden! Fertig!
Mir fällt grad auf, dass das gar keine Bastelei ist, sondern eingentlich ne stink normale Kurvendiskussion, nur etwas "verpackt". Mein erster Vorschlag war vermutlich einfach noch etwas unausgereift und klang zu sehr nach basteln.... Sorry!
Hoffe, es haut nun hin
Gruß Tran
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Also irgendwie versteh ich grad nicht was du mir damit sagen wolltest. Meinst du so in etwa als Antwort das alle reellen Zahlen c: y = [0,q[ $ [mm] f_{k}(x) [/mm] $ nur damit 2 lösungen x1 und x2 haben? Sorry wenn das dumm rüber kommt aber das q is das von dem Punkt und wie bekomm ich den Punkt raus?
Wenn du nett sein könntest, könntest du mir mal so ne Hilfe geben damit ich kapiere wie du darauf gekommen bist? Weil ich versteh den hintergrund nich. Wenn x->unendlich geht dann kommt doch -unendlich raus. Mhm...Das mit der Parallelen is mir auch total unbegreiflich. Ich weiß schon gar ni was überhaupt als Lösung verlangt wird...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:48 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Martin
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
versuchs doch mal so:
die Funktion ist ja:
[mm] $f_k=\bruch{x}{k}-x*\ln(x)$
[/mm]
Weil der Logarithmus nur für positive Werte definiert ist, brauchst du dann deine Funktion nur für die positive x-Achse zu untersuchen.
Wenn man eine Kurve untersuchen will, empfiehlt es sich in der Regel, auch gleich mal einige Ableitungen zu bilden.
Also:
[mm] $f_k'(x)=\bruch{1}{k}-\ln(x)-1$
[/mm]
[mm] $f''(x)=-\bruch{1}{x}$
[/mm]
Weil x positiv sein muss, ist die zweite Ableitung immer negativ. Was bedeutet das?
Das bedeutet, dass der Graph der Funktion überall eine Rechtskurve macht.
Und die erste Ableitung, in der Nähe non Null? Der Logarithmus strebt ja gegen minus unendlich, so dass die erste Ableitung gegen plus unendlich strebt.
Damit wissen wir: die Kurve geht vom Nullpunkt praktisch parallel zur y-Achse nach oben weg, um in einem ständigen Rechtsbogen weiter zu verlaufen. Sie steigt also zunächst an, nimmt irgendwo ein Maximum an und fällt dann immer tiefer. Wie mein Vorredner bereits bemerkt hat, strebt der Funktionswert für x gegen Null selber auch gegen Null.
Ach ja, die Frage bezüglich Paralleler zur x-Achse. Wenn eben gefragt wird:
Wo hat eine Funktion f(x) den Wert c? Dann kannst du das grafisch so lösen, dass du auf Höhe c eine Parallele zur xAchse zeichnest und die Schnittpunkte mit dem Funktionsgrafen suchst.
Mach mal eine Skizze, mit Hilfe meiner Überlegungen. Du wirst feststellen, dass das gesuchte c grösser als Null sein muss und kleiner als das Maximum der Funktion. Dieses Maximum musst du also nur noch bestimmen. 
Mit freundlichen Grüssen
Paul
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Mo 20.06.2005 | | Autor: | TranVanLuu |
Tut mir leid! War gestern Abend schon etwas fertig nach dem schönen Tag (an dem ich Übungsaufgaben noch und nöcher lösen musste). Ich hab mir die Funktion vom PC zeichnen lassen und dann nicht mehr so genau nachgedacht, aber Paulus hat das ja wunderbar erklärt.
Ich verspreche, ich werde beim nächsten mal versuchen, etwas verständlicher zu erklären!!
Tran
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