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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Nullstellenbestimmung
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Nullstellenbestimmung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 So 23.11.2008
Autor: Amsel81

Aufgabe
Bestimmen Sie die Elemente x aus dem jeweils angegebenen Körper K, für die die angegebene Gleichung erfüllt ist.
[mm] x^3-1=0 K=\IC [/mm]

Hi,

Für andere Körper habe ich diese Geschichte ohne Probleme lösen können. Hier stellt sich mir lediglich die Frage, ob ich einfach sagen kann (ohne großartig rumzurechnen...sieht man ja auch auf Anhieb), dass für die komplexen zahlen die Lösung hier [mm] x_{0}=-i^{2} [/mm] ist. Oder ist es vielleicht nur -1?
Danke schonmal für die Antwort!

LG Amsel
        
Bezug
Nullstellenbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:58 So 23.11.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Amsel,

> Bestimmen Sie die Elemente x aus dem jeweils angegebenen
> Körper K, für die die angegebene Gleichung erfüllt ist.
>  [mm] $x^3-1=0 [/mm]  \ \   [mm] ,K=\IC$ [/mm]
>  Hi,
>  
> Für andere Körper habe ich diese Geschichte ohne Probleme
> lösen können. Hier stellt sich mir lediglich die Frage, ob
> ich einfach sagen kann (ohne großartig rumzurechnen...sieht
> man ja auch auf Anhieb), dass für die komplexen zahlen die
> Lösung hier [mm]x_{0}=-i^{2}[/mm] ist. [ok]

einfacher geschrieben $x=1$ ;-)

> Oder ist es vielleicht nur
> -1? [notok]

setze mal ein, das erfüllt doch die Gleichung nicht!!

Mit der NST $x=1$ kannst du ne Polynomdivision machen [mm] $(x^3-1):(x-1)=...$ [/mm]

Das verbleibende quadratische Polynom untersuche mal weiter auf NSTen in [mm] $\IC$ [/mm]

Alternativ kannst du, wenn du's schon hattest, die Gleichung [mm] $x^3-1=0$ [/mm] umschreiben in [mm] $x^3=1$ [/mm] und die sog. dritten Einheitswurzeln bestimmen ...

Das wäre der elegante Weg

>  Danke schonmal für die Antwort!
>  
> LG Amsel


Gruß

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Nullstellenbestimmung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:00 So 23.11.2008
Autor: Amsel81

Ups das mit der -1 war ein versehen...Peinlich....
Bezug
                
Bezug
Nullstellenbestimmung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:10 So 23.11.2008
Autor: Amsel81

[mm] (x^3-1)(x-1)=x^2+x+1 [/mm]

So habe ich als zweite Lösung(en): [mm] -\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{3}{4}} [/mm] bzw. [mm] -\bruch{1}{2}\pm 1\bruch{1}{3}i [/mm] ?

Ist ja irgendwie merkwürdig...
Bezug
                        
Bezug
Nullstellenbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 So 23.11.2008
Autor: Amsel81

Sorry schon wieder vertippt   [mm] -\bruch{1}{2}\pm\wurzel{ -\bruch{3}{4}} [/mm]
Bezug
                                
Bezug
Nullstellenbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 So 23.11.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Sorry schon wieder vertippt   [mm]-\bruch{1}{2}\pm\wurzel{ -\bruch{3}{4}}[/mm]  [ok]

[mm] $=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i$ [/mm]


LG

schachuzipus

Bezug
                                        
Bezug
Nullstellenbestimmung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:24 So 23.11.2008
Autor: Amsel81

Super! Vielen lieben Dank!!!

Gruß
Amsel
Bezug
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