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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Sa 01.01.2011 | | Autor: | numeri |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich benötige zur weiteren Lösen einer Aufgabe die Nullstellen folgener Funktionen:
a) f(x) = [mm] x^4+x^3+x^2+x+1
[/mm]
b) f(x) = [mm] x^3+x^2+1
[/mm]
zu a) hab ich nur herausgefunden, dass die Nullstellen komplex sind, allerdings weiß ich nicht wie man die berechnen kann. Gibt es da ein Möglichkeit?
zu b) es gibt eine reelle Nullstelle, allerdings weiß ich auch hier nicht wie ich so recht drauf komme. Klar ich könnte das mit Taschenrechner machen, aber wie bekomm ich das zu Fuß hin?
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Hallo numeri,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ich benötige zur weiteren Lösen einer Aufgabe die
> Nullstellen folgener Funktionen:
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> a) f(x) = [mm]x^4+x^3+x^2+x+1[/mm]
> b) f(x) = [mm]x^3+x^2+1[/mm]
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> zu a) hab ich nur herausgefunden, dass die Nullstellen
> komplex sind, allerdings weiß ich nicht wie man die
> berechnen kann. Gibt es da ein Möglichkeit?
Nun, das gegebene Polynom ist symmetrisch in den Koeffizienten,
d.h. der Koeffizient vor [mm]x^{4}[/mm] entspricht dem Koeffizienten vor [mm]x^{0}[/mm],
also dem absoluten Glied. Ebenso entspricht der Koeffizient
vor [mm]x^{3}[/mm] entspricht dem Koeffizienten vor [mm]x^{1}[/mm],
also dem linearen Glied.
Da die Nullstellen von 0 verschieden sind, kannst Du durch x dividieren:
[mm]f(x) = x^4+x^3+x^2+x+1=x^{2}\left(x^{2}+x+1+\bruch{1}{x}+\bruch{1}{x^{2}}\right)[/mm]
Damit musst Du nur die Nullstellen von
[mm]x^{2}+x+1+\bruch{1}{x}+\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
bestimmen. Substituiere hierzu
[mm]u=x+\bruch{1}{x}[/mm]
Das ergibt dann ein quadratisches Polynom in u.
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> zu b) es gibt eine reelle Nullstelle, allerdings weiß ich
> auch hier nicht wie ich so recht drauf komme. Klar ich
> könnte das mit Taschenrechner machen, aber wie bekomm ich
> das zu Fuß hin?
Gruss
MathePower
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