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Hallo liebe Helfer :).
Ich weiß bei folgender Aufgabe nicht mehr weiter.
Gegeben sei das Polynom:
p(x) = [mm] x^{4} [/mm] - [mm] 4x^{3} [/mm] + [mm] 6x^{2} [/mm] - 4x + a; a = 1 - [mm] \varepsilon [/mm]
Im Aufgabenteil b) sollen wir nun die Nullstellen von dem oben gegebenen Polynom berechnen mit der Störung. [mm] 0<\varepsilon
Ich habe zunächst also gemäßg dem binomischen Lehrsatz mein Polynom in die folgende Form gebracht:
p(x) = [mm] (x-1)^{4} [/mm] - [mm] \varepsilon
[/mm]
Das habe ich dann gleich 0 gesetzt und am Ende für mein x herausbekommen:
[mm] x=1+\varepsilon^{\bruch{1}{4}}
[/mm]
Nun ist mir aber nicht klar, wie ich hier weiter die Grenzen für [mm] \varepsilon [/mm] beachten muss!? Bzw. was diese mir sagen.. Ich weiß zwar, dass eps die Maschinengenauigkeit ist, aber was diese genau in dem Zusammenhang aussagt, ist mir nicht klar.. Wäre super, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte :).
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 15:51 Fr 16.11.2012 | | Autor: | leduart |
Edit dieser post ist falsch
Hallo
hoffentlich hast du $ [mm] x=(1+\varepsilon)^{\bruch{1}{4}} [/mm] $
und noch die entspr. Vorzeichen.
wenn [mm] \epsilon [/mm] die Maschinengenauogkeit ist ist das Ergebnis auf [mm] \epsilon/4 [/mm] genau wegen [mm] (1+x)^r\approx [/mm] 1+r*x für r<<1
wichtiger wäre die genaue aufgabe, es ist schwer zu raten, was gefragt ist. "wir sollen" ist doch sehr ungenau. bitte gewphn dir an die exakte aufgabe zu zitieren
Gruss leduart
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| Aufgabe | Die Nullstellenbestimmung von Polynomen ist ein Problem, das im Allgemeinen schlecht konditioniert
ist. Zur Veranschaulichung betrachte man das Polynom
p(x) = [mm] x^{4} [/mm] - [mm] 4x^{3} [/mm] + [mm] 6x^{2}- [/mm] 4x + a; a = 1:
(a) Wie lauten die (exakten) Nullstellen xi von p(x) im angegebenen Fall a = 1?
Hinweis: Binomischer Lehrsatz.
(b) Wie ändern sich die Nullstellen xi von p(x), wenn der Koe zient a zu a := 1- [mm] \varepsilon [/mm] mit
0 < [mm] \varepsilon \le [/mm] eps, gestört wird? |
Habe die Aufgabe nun eingetragen :). Es geht dabei um Aufgabenteil b).
also ich bekomme nicht x= (1+ [mm] \varepsilon) ^{\bruch{1}{4}} [/mm] heraus. Da ich ja folgendes mache:
p(x) = (x-1) ^{4} - [mm] \varepsilon [/mm] = 0
[mm] \gdw [/mm] (x-1) = [mm] \varepsilon ^{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x = [mm] \varepsilon^{\bruch{1}{4}} [/mm] +1
Viele Grüße :)
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Hallo,
> Die Nullstellenbestimmung von Polynomen ist ein Problem,
> das im Allgemeinen schlecht konditioniert
> ist. Zur Veranschaulichung betrachte man das Polynom
> p(x) = [mm]x^{4}[/mm] - [mm]4x^{3}[/mm] + [mm]6x^{2}-[/mm] 4x + a; a = 1:
> (a) Wie lauten die (exakten) Nullstellen xi von p(x) im
> angegebenen Fall a = 1?
> Hinweis: Binomischer Lehrsatz.
> (b) Wie ändern sich die Nullstellen xi von p(x), wenn der
> Koe zient a zu a := 1- [mm]\varepsilon[/mm] mit
> 0 < [mm]\varepsilon \le[/mm] eps, gestört wird?
>
> Habe die Aufgabe nun eingetragen :).
Wunderbar. Viel besser.
So richtig aussagekräftig ist die Aufgabe allerdings nicht...
Trotzdem danke.
> Es geht dabei um
> Aufgabenteil b).
Das war klar.
> also ich bekomme nicht x= (1+ [mm]\varepsilon)[/mm] ^{bruch{1}{4}}
> heraus. Da ich ja folgendes mache:
>
> p(x) = (x-1) ^{4} - [mm]\varepsilon[/mm] = 0
> [mm]\gdw[/mm] (x-1) = [mm]\varepsilon ^{\bruch{1}{4}}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] x = [mm]\varepsilon^{\bruch{1}{4}}[/mm] +1
Sehr logisch aufgebaut. 
Daran ist nichts zu bemängeln.
Denk trotzdem mal über leduarts Abschätzung nach. Müsste man sie abändern? Was heißt das für die Rechengenauigkeit?
Grüße
reverend
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Aber die Abschätzung von ihm ist doch gar nicht mehr relevant für mich, wenn ich ein anderes Ergebnis hab? Und ich versteh auch nicht, warum das r << 1 ist. Oder sagt man das 0,25 << 1 ist?
Das hieße für mich also, dass ich als Ergebnis (nach dem von leduard) hätte: 1+0,25 [mm] \varepsilon, [/mm] oder?
Was hat das dann mit der Einschränkung zu tun: 0 < [mm] \varepsilon \le [/mm] eps?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Fr 16.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
siehe meine andere Antwort
Gruss öeduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Fr 16.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Sorry, mein dummer Fehler!
dann ist es umgekehrt, wenn [mm] \varepsilon<<1 [/mm] ist der Fehler von [mm] \varepsilon^{1/4} [/mm] sehr viel großer. sei [mm] \varepsilon=10^{-12} [/mm] dann ist [mm] \varepsilon^{1/4}=10^{-3}
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:11 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Mathefragen |
Bei dir fehlen irgendwie Buchstaben? Ich kann das irgendwie deswegen nicht ganz nachvollziehen :(.. Was müsste vor dem Gleichheitszeichen und dem
<<1 stehen?> Hallo
> Sorry, mein dummer Fehler!
> dann ist es umgekehrt, wenn [mm]\epsolon<<1[/mm] ist der Fehler von
> [mm]\epsilon^{1/4}[/mm] sehr viel großer. sei [mm]\epsikin =10^{-12}[/mm]
> dann ist [mm]\epsilon^{1/4}= 10^{-3}[/mm]
> Gruss leduart
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Achso, da fehlen nur epsilons oder? Aber warum ist denn [mm] \varepsilon [/mm] << 1? Woher weißt du das?
Oder ist eps (also die Maschinengenauigkeit) ein Wert <<1?
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Hallo nochmal,
> Achso, da fehlen nur epsilons oder? Aber warum ist denn
> [mm]\varepsilon[/mm] << 1? Woher weißt du das?
>
> Oder ist eps (also die Maschinengenauigkeit) ein Wert <<1?
Letzteres ist in der Praxis deutlich zu bejahen.
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Grüße
reverend
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Das heißt die Antwort wäre in diesem Fall, dass auf Grund [mm] 0<\varepsilon\le [/mm] eps gilt, dass [mm] \varepsilon [/mm] << 1 ist, da eps << 1 ist. Und dass sich wegen dem ^ 0,25 die Nullstellen stark verändern bei kleinen Fehlern?
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Hallo nochmal,
> Das heißt die Antwort wäre in diesem Fall, dass auf Grund
> [mm]0<\varepsilon\le[/mm] eps gilt, dass [mm]\varepsilon[/mm] << 1 ist, da
> eps << 1 ist. Und dass sich wegen dem ^ 0,25 die
> Nullstellen stark verändern bei kleinen Fehlern?
Das ist zu allgemein. Aber immerhin ist [mm] 0<\varepsilon\le eps<\varepsilon^{0,25} [/mm] gut möglich.
Eine Störung kleiner als die Maschinen(un)genauigkeit kann also im Ergebnis einer Rechnung eine Veränderung hervorrufen, die größer ist.
Grüße
reverend
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