Nullstellenbestimmung von A ! < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:35 Sa 26.03.2005 | | Autor: | steph |
Hallo nochmal,
tut mir leid, dass ich so viele Fragen habe, aber Ihr (alle User des Mathematik-Forums) seit meine letzte Rettung in den Osterferien.
Also die Funktion lautet:
f(x)= [mm] 1/3(a-5)x^3+(a+5)x=0 a=R\{5}
[/mm]
f(x)= [mm] x(1/3(a-5)x^2+(a+5))=0 [/mm] x1=0
man bekommt dann als Diskriminante x1= +Wurzel [mm] -3a^2+75
[/mm]
und für x2= -Wurzel [mm] -3a^2+75
[/mm]
dann wenn die Diskriminante = 0 ist
heißt es doch: [mm] -3a^2+75=0
[/mm]
a= +-5
also nur -5, da 5 oben ja ausgeklammert wurde
also a= -5 dann hab ich als Lösung rausbekommen 1 Nullstelle und die ist x1=0 und ist doppelt.
Ich weiß, aber nicht ob das stimmt, da ich denke, es muss doch eine dreifache Nullstelle rauskommen man hat ganz oben bereits eine Nullstelle, nämlich 0 und wenn unten also bei der Wurzel auch noch mal zwei Nullstellen nämlich 0, dann sind es doch drei ???? Verstehe ich das richtig
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Hallo steph,
wenn ich es richtig lese ist doch Deine 2te Zeile
[mm] $x*\left( \frac{a-5}{3}x^2 + (a+5) \right) [/mm] = 0$
woraus sich ( außer x1 = 0 ) dann doch ganz einfach
[mm] $x^2 [/mm] = [mm] \frac{-3*(a+5)}{a-5} [/mm] = [mm] \frac{3*(a+5)}{5-a}$ [/mm] ergibt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Sa 26.03.2005 | | Autor: | steph |
Also danke schonmal friedrich, bloß die Aufgabe die du abgeschrieben hast von meinem ersten Posting ist falsch !! Hier nochmal
f(x)= [mm] 1/3(a-5)x^3+(a+5)x
[/mm]
d.h. 3(a-5) stehen im Nenner !!
Danke !!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:49 Sa 26.03.2005 | | Autor: | Disap |
Evtl. mal gucken, was der FriedrichLaher bei der Aufgabe (die er leider falsch interpretiert hat) gemacht hat. Er hat da nämlich nichts weiter gemacht, als deinen Ausdruck
[mm] 1/3(a-5)x^2+(a+5)=0 [/mm] nach x umgestellt.
Übringens ist dieser Ausdruck sehr unschön geschrieben. Auch wenn manchmal "Befehle" wie Brüche (ganz besonders Vektoren) schwer zu finden sind, wäre es schön, wenn du mal kurz suchen würdest. Dann hättest du jetzt auch einen sehr schöne Lösung gehabt (wobei die von FriedrichLaher auch ganz gut ist).
In der Mathematik gehts ja nicht darum, sich etwas vorrechnen zu lassen, sondern es selbst zu verstehen. Falls seine Antwort "unzureichend" erklärt war, dann kannst du ja noch mal fragen. Aber ich persönlich finde, dass es mehr bringt, wenn du dir jetzt erst einmal seine Beispielrechnung angucken würdest.
Liebe Grüße Disap
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tja, steph
dann ist aber leider schon Deine 2te Zeile,
egal wie interpretiert, falsch und
x=0 entschieden keine Lösung
[mm] $\frac{1}{3(a-5)x^3}=-(a+5)*x$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{3*(a^2-5^2)}= -x^4$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{3*(5^2-a^2)}=x^4$
[/mm]
$x = [mm] \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3*(5^2-a^2)}}$
[/mm]
( abgesehen von komplexen Lösungen )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Sa 26.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo an alle Fragebeteiligten!
Kann es sein, daß die Funktion
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{3*(a-5)}*x^3 [/mm] + (a+5)*x \ = \ [mm] \bruch{1}{3*(a-5)}*x [/mm] * [mm] \left[x^2 + 3*(a^2-5^2)\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3*(a-5)}*x [/mm] * [mm] \left[x^2 - 3*(25-a^2)\right]$
[/mm]
heißen soll? Das würde auch die Nullstelle [mm] $x_{N1} [/mm] = 0$ erklären ...
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Sa 26.03.2005 | | Autor: | steph |
Genau so lautet die Aufgabe, >> auf darauf bezieht sich auch die Frage
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Hallo steph,
Wie Loddar schon gesagt hat, lautet also deine Funktion:
[m]f\left( x \right): = \frac{{x^3 + \left( {a + 5} \right)x}}
{{3\left( {a - 5} \right)}}\;\mathop = \limits^{\begin{subarray}{l}
{\text{wir klammern im Zähler}} \\
x{\text{ aus (hat Loddar schon gemacht)}}
\end{subarray}}\; \frac{{x\left( {x^2 + a + 5} \right)}}
{{3\left( {a - 5} \right)}}[/m]
Wir wollen die Nullstellen dazu bestimmen, also quasi folgende Menge [m]\left\{ {x\;|\;f\left( x \right) = 0} \right\}[/m]. Da es sich hier um eine gebrochenrationale Funktion handelt, interessieren wir uns nur für die Nullstellen des Zählers. Wir setzen die Gleichung also = 0 und formen um:
[m]\frac{{x\left( {x^2 + a + 5} \right)}}
{{3\left( {a - 5} \right)}} = 0 \Leftrightarrow x\left( {x^2 + a + 5} \right) = 0[/m]. Wie Loddar schon gesagt hat, lautet die erste Nullstelle dann
[mm] $x_{N_1} [/mm] = 0$ (Setz' es einfach in den Nenner ein und rechne es aus; Du wirst sehen, daß du 0 = 0 rausbekommst). Um die anderen Nullstellen rauszubekommen, teilen wir nun durch x und erhalten folgende Gleichung:
[m]\Rightarrow x^2 + a + 5 = 0[/m]
Wir formen um:
[m] \Rightarrow x^2 + a + 5 = 0 \Leftrightarrow x^2 = - a - 5 \Rightarrow \left( {x = \sqrt { - a - 5} \vee x = - \sqrt { - a - 5} } \right)[/m]. Der Term in der Wurzel darf nicht negativ werden und außerdem müssen wir aufpassen, daß der Nenner von [mm] $f\left(x\right)$ [/mm] nicht 0 wird.
Es muß also gelten:
[m] - a - 5 \ge 0 \Rightarrow - 5 \ge a \Rightarrow a \le - 5[/m]
Das heißt also: Für alle [m]a \le - 5[/m] gilt [m]\left\{ {x\;|\;f\left( x \right) = 0} \right\} = \left\{ {0,\sqrt { - a - 5} , - \sqrt { - a - 5} } \right\}[/m].
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:36 So 27.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Karl!
Diese Funktion scheint ja wirklich keiner so richtig zu mögen ![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]") , denn Du hast sie auch noch falsch interpretiert ...
Sie sollte wohl (nach einigen Hin und Her) so lauten:
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{3*(a-5)}*x^3 [/mm] + (a+5)*x$
Daraus wird dann mit Ausklammern von [mm] $\bruch{x}{3*(a-5)}$ [/mm] (siehe oben):
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x}{3*(a-5)}*\left[x^2 + 3*(a+5)*(a-5)\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x * \left[x^2 + 3*(a^2-5^2)\right]}{3*(a-5)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x * \left[x^2 - 3*(25-a^2)\right]}{3*(a-5)}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 So 27.03.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Loddar,
Ja, hier war ich ja wohl keine allzu große Hilfe. Die Antwort ist zwar inhaltlich richtig, aber die Frage dazu existiert nicht. 
Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 So 27.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo steph!
Nach einiger Verwirrung hier im MatheRaum sind wir doch nun mit Deiner Funktion (einschließlich Ausklammern, siehe oben) angelangt bei:
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{3*(a-5)}*x^3 [/mm] + (a+5)*x \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{x * \left[x^2 - 3*(25-a^2)\right]}{3*(a-5)}$
[/mm]
Nun können wir in der eckigen Klammer im Zähler die 3. binomische Formel anwenden: [mm] $(a^2 [/mm] - [mm] b^2) [/mm] \ = \ (a+b)*(a-b)$
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x * \left[x^2 - (75-3a^2)\right]}{3*(a-5)}$
[/mm]
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x * \left(x - \wurzel{75-3a^2}\right) * \left(x + \wurzel{75-3a^2}\right)}{3*(a-5)}$
[/mm]
Damit hätten wir nun drei (allgemeine) Nullstellen:
[mm] $x_{N1} [/mm] \ = \ 0$
[mm] $x_{N2} [/mm] \ = \ + [mm] \wurzel{75-3a^2}$
[/mm]
[mm] $x_{N3} [/mm] \ = \ - [mm] \wurzel{75-3a^2}$
[/mm]
Wie Karl bereits richtig festgestellt hat, müssen wir nun noch untersuchen, für welche $a$ diese Wurzel überhaupt definiert ist:
$75 - [mm] 3a^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
$25 - [mm] a^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
$25 \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] a^2$
[/mm]
$5 \ [mm] \ge [/mm] \ |a|$
Allerdings haben wir gleich zu Beginn $a \ [mm] \red{=} [/mm] \ +5$ aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen, so daß verbleibt: $|a| \ [mm] \red{<} [/mm] \ 5$
Zusammenfassung
Für $|a| \ < \ 5$ [mm] $\gdw$ [/mm] $-5 \ < \ a \ < \ +5$ gibt es also genau drei Nullstellen in [mm] $\IR$, [/mm] nämlich die drei oben genannten.
Für $|a| \ > \ 5$ gibt es genau eine Nullstelle in [mm] $\IR$, [/mm] nämlich: [mm] $x_N [/mm] \ = \ 0$.
So! Ich hoffe, nun sind alle Klarheiten beseitigt ...
Gruß
Loddar
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