Nullstellenbeweis für Extremum < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Mi 14.05.2008 | | Autor: | kasymir |
HAllo!
Ich soll beweisen, dass ein Polynom mit Nullstelle a und Vielfachheit m,
genau ein Extremun in a besitzt, wenn m gerade ist....
Hat jemand einen nützlichen Tipp und kann mir das besser erklären???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Ich soll beweisen, dass ein Polynom mit Nullstelle a und
> Vielfachheit m,
> genau ein Extremun in a besitzt, wenn m gerade ist....
Sei P(x) dieses Polynom, dann kannst du also P(x) darstellen als [mm] Q(x)*(x-a)^m, [/mm] wobei Q keine Nullstelle in a hat.
Jetzt fallen mir mehrere Beweismöglichkeiten ein:
1) Du kannst den Satz benutzen, dass wenn bei einer Funktion die ersten k Ableitungen in einem Punkt Null sind und die (k+1)-te Ableitung ungleich Null, dann hat die Funktion bei k ungerade ein Extremum, bei k gerade keins. Dazu müsstest du das Polynom aber brutal ableiten... das macht wohl keinen Spaß.
2) Du machst nen Induktionsbeweis über m. Würde bestimmt auch irgendwie funktionieren.
3) Die eleganteste Art (mMn). Q(x) ist in einer Umgebung von a entweder positiv oder negativ (warum?). Dann betrachtest du [mm] (x-a)^m [/mm] in dieser Umgebung... je nachdem ob m gerade oder ungerade ist, ist P(x) dann immer positiv oder positiv/negativ. Der Rest ist dann klar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Mi 14.05.2008 | | Autor: | kasymir |
Hat das etwas damit zu tun, dass f immer ungerade ist, wenn f(-x)=-f(x) ist? Und
Gerade, wenn F(-x)=F(x) ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hat das etwas damit zu tun, dass f immer ungerade ist, wenn
> f(-x)=-f(x) ist? Und
>
> Gerade, wenn F(-x)=F(x) ist?
Das hat mit der Aufgabe nix zu tun... das gerade/ungerade bezieht sich doch auf m.
Zu der 3) vielleicht etwas genauer..... du hast [mm] (x-a)^m.
[/mm]
Nehmen wir mal m=1 an, dann hast du einfach (x-a). Dass ich für x<a kleiner Null und für x>a größer Null.
Wenn jetzt m=2 ist, dann ist [mm] (x-a)^2 [/mm] immer >0.
Und für x=a ist beides =0.
Jetzt haben wir ja noch, dass Q(x) entweder größer oder kleiner Null ist in einer kleinen Umgebung von a (wieder die Frage an dich... wieso?).
Und jetzt musst du [mm] Q(x)*(x-a)^m [/mm] betrachten.... das schaffste jetzt auch alleine. Mach wieder die Fälle x<a und x>a in einer kleinen Umgebung um a.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Mi 14.05.2008 | | Autor: | kasymir |
3) ich wähle methode nr.3
also wenn ich dich richitg verstehe. q(x) ist um die Nullstelle herum entweder pos oder negativ. ganz simpel gesagt, weil es sich um einen graphen handelt, der ja nur aus einer richtung kommen kann. oder?!hört sich komisch an.....
ist m gerade, dann handelt es sich um eine Parabel, die nach oben geöffnet ist. handelt es sich um ein umgerades m, so ist es eine Funktion, die vom neg. kommt und ins positive geht.
das bedeutet doch, dass m gerade sein muss, damit die nullstelle ein extremum ist oder?
aber wie schreibe ich das als chemiker mathematisch richtig auf....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> 3) ich wähle methode nr.3
>
> also wenn ich dich richitg verstehe. q(x) ist um die
> Nullstelle herum entweder pos oder negativ. ganz simpel
> gesagt, weil es sich um einen graphen handelt, der ja nur
> aus einer richtung kommen kann. oder?!hört sich komisch
> an.....
>
Mathematisch korrekt: Q ist als Polynom stetig. Also existiert eine Umgebung um a in der Q nicht Null wird.
>
> ist m gerade, dann handelt es sich um eine Parabel, die
> nach oben geöffnet ist. handelt es sich um ein umgerades m,
> so ist es eine Funktion, die vom neg. kommt und ins
> positive geht.
>
> das bedeutet doch, dass m gerade sein muss, damit die
> nullstelle ein extremum ist oder?
> aber wie schreibe ich das als chemiker mathematisch
> richtig auf....
OBdA sei Q(x)>0 in dieser Umgebung.
Dann ist für [mm] x\not=a Q(x)*(x-a)^m [/mm] > 0 für m gerade, da Q(x)>0 und [mm] (x-a)^m>0. [/mm] Für x=a ist [mm] Q(x)*(x-a)^m=0, [/mm] also folgt daraus, dass P(x) in a ein Extremum hat.
Genau so schreibst du es für m ungerade auf, nur hier musst du die Unterscheidung für x<a, x=a und x>a machen.
Zum Schluss kommt noch die Bemerkung, dass man für Q(x)<0 das ganze analog macht, nur mit umgedrehten Relationszeichen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:51 Mi 14.05.2008 | | Autor: | kasymir |
Danke schön für deine Hilfe! Wie du das abends im 12 aus dem Ärmel schüttelst ist ein Wunder...
Grüße aus dem Teuto
und gute Nacht
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