Nullstellenbrechnung mit Itera < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Max80 |
Hi.
Wir haben heute eine Aufgabe bekommen (eigentlich sollen wir es Programmieren, aber ich verstehe ja nichtmal die rechnung...^^), mit der man Nullstellen durch Annäherung berechnen kann.
Die Aufgabe:
"Man sucht zwei Argumente links und rechts der Nullstelle mit
f(links) * f(rechts) < 0
Diese schließen die fragliche Nullstelle ein. Aus ihnen bildet man anschließend das arithmetische Mittel: mittel = (links + rechts) /2
Nun ersetzt man je nach Vorzeichen von f(mittel) den Wert links oder rechts durch mittel derart, dass die Nullstelle wiederum dazwischen liegt."
öhm....*kopfschüttel*
ich habe ja so einigermaßen kapiert, wie das system funktioniert. aber welche bedeutung jetz die y-werte, und welche die y-wert haben habe ich nich verstanden.
pls help :)
thx & cu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Max80 |
Habe was vergessen: Die Gleichung ist fest vorgegeben:
a) 4x-4 und b) 2x-tan(x)
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Hallo Bunti!
Am besten wird dir folgende, selbsterklärende Skizze helfen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das von dir beschriebene Algorithmus ist noch einfacher als das.
Schöne Grüße, 
Ladis
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Bunti!
Die Bedingung
$f(rechts) [mm] \cdot [/mm] f(links) <0$
bedeutet ja, dass
entweder
$f(rechts)<0$ und $f(links)>0$
oder
$f(rechts)>0$ und $f(links)<0$.
In jedem Fall haben beide Funktionswerte unterschiedliches Vorzeichen.
Nach dem Zwischenwertsatz muss es einen $x$-Wert [mm] $x_0$ [/mm] irgendwo zwischen $links$ und $rechts$ geben mit
[mm] [center]$f(x_0)=0$.[/center]
[/mm]
Man weiß zwar aus der Theorie, dass es einen solchen Wert geben muss, aber man kennt ihn nicht. Daher versucht man ihn systematisch einzugrenzen.
Nehmen wir also die Mitte zwischen $links$ und $rechts$ und nennen den Punkt $mitte$.
Dann gilt vielleicht $f(mitte)=0$. Das wäre toll, denn dann hätten wir direkt (zufällig) unsere Nullstelle gefunden. Aber vermutlich gilt dies ja nicht.
Dann gilt aber: $f(mitte)>0$ oder $f(mitte)<0$, also auf jeden Fall $f(mitte) [mm] \ne [/mm] 0$
Dann gilt entweder
$f(links) [mm] \cdot [/mm] f(mitte)<0$
oder aber
$f(rechts) [mm] \cdot [/mm] f(mitte)<0$.
Im ersten Fall hat $f(mitte)$ ein anderes Vorzeichen als $f(links)$ (d.h. es muss nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle zwischen $links$ und $mitte$ geben), im zweiten Fall hat $f(mitte)$ ein anderes Vorzeichen als $f(rechts)$ (d.h. es muss nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle zwischen $mitte$ und $rechts$ geben).
Im ersten Fall betrachtet man dann das Intervall $[links,mitte]$, nimmt wieder den Mittelpunkt, usw., im zweiten Fall betrachtet man das Intervall$[mitte,rechts]$.
Verstanden?
![[]](/images/popup.gif) Hier findest du noch einmal eine ausführliche Erklärung mit zahlreichen Beispielen.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Max80 |
ahh. ok danke. also die rechnung habe ich verstanden. aufm blatt papier hats geklappt :)
jetz muss nur noch der quelltext funktionieren^^
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na, aller guten Dinge sind 3
Du hast Dir hoffentlich bereits eine Skizze gemacht.
Das Verfahren nennt man auch "Intervallschachtelung". Ausgangspunkt jedes Iterationsschrittes
sind immer 2 x Werte $ [mm] x_{+},\,x_{-} [/mm] $ für die gilt $ [mm] f(x_{+}) [/mm] > 0 $ und $ [mm] f(x_{-}) [/mm] < 0 $.
Wenn nun für $ [mm] x_{neu} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(x_{+} [/mm] + [mm] x_{-}) [/mm] $
gilt
$ [mm] f(x_{neu}) [/mm] > 0 $
dann
mußt Du $ [mm] x_{+} [/mm] = [mm] x_{neu} [/mm] $ setzen, sonst $ [mm] x_{-} [/mm] = [mm] x_{neu} [/mm] $
oder,
falls $ [mm] f(x_{neu}) [/mm] = 0 $ oder $ | [mm] f(x_{neu}) [/mm] | [mm] \,\,\,hinreichend \,\,\, [/mm] klein $ endet die Iterration
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