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Hallo,
ich habe eine Frage zu einem Abschnitt aus einem Buch, in dem es um Nullstellenverteilungen und ganze Funktionen geht.
Definition:
Eine Lösung der Nullstellenverteilung N = {(a, [mm] n_{a})} [/mm] ist eine ganze Funktion, die genau in den a [mm] \in [/mm] |N| Nullstellen der Ordnung [mm] \( n_{a} \) [/mm] hat: [mm] \( [/mm] div f = N [mm] \).
[/mm]
Dazu der Text:
Sind f und g Lösungen der Nullstellenverteilung, so ist [mm] \( \frac{f}{g} \) [/mm] eine ganze Funktion ohne Nullstellen. Jede ganze Funktion ohne Nullstellen läßt sich, weil [mm] \( \mathbf{C} \) [/mm] einfach zusammenhängt, schreiben als:
[mm] \( e^{h} \), [/mm] wobei h wiederum ganz ist.
Meine Frage, weswegen kommt bei [mm] \( \frac{f}{g} \) [/mm] eine ganze Funktion ohne Nullstellen heraus?
und dann der zweite Teil im Text, weswegen kann ich dieses als [mm] e^{h} [/mm] schreiben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:59 Mo 28.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Da f und g Lösungen der Nullstellenverteilung sind, haben beide genau in den Punkten a Nullstellen der Ordnung [mm] n_a
[/mm]
Nun nehmen wir uns mal ein solches a her. Dann gibte es ganze Funktionen [mm] f_1 [/mm] und [mm] g_1 [/mm] mit:
$f(z) = [mm] (z-a)^{n_a}f_1(z)$ [/mm] für jedes z und [mm] f_1(a) \not=0
[/mm]
und
$g(z) = [mm] (z-a)^{n_a}g_1(z)$ [/mm] für jedes z und [mm] g_1(a) \not=0
[/mm]
Dann ist
[mm] $\bruch{f(z)}{g(z)}= \bruch{f_1(z)}{g_1(z)}$
[/mm]
f/g hat dann in a keine Nullstelle.
Fazit: f/g ist nullstellenfrei
Zu Deiner 2. Frage: es gilt folgender Satz: ist G ein einfach zusammenhängendes Gebiet in [mm] \IC [/mm] und ist [mm] \phi [/mm] auf G holomorph und nullstellenfrei, so ex. eine auf G holomorphe Funktion [mm] \psi [/mm] mit
[mm] $e^{\psi}= \phi$ [/mm] auf G
FRED
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danke!
hat denn der satz, den du mir zu meiner 2. Frage genannt hast auch einen Namen? ist es ein bekannter Satz?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Di 29.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> hat denn der satz, den du mir zu meiner 2. Frage genannt
> hast auch einen Namen? ist es ein bekannter Satz?
Einen Namen kenn ich nicht (aber wer anders vielleicht?), jedoch kann ich dir einen Hinweis geben wie man ihn bekommt:
eine solche Funktion $h$ erfuellt ja $h'(z) = [mm] \phi'(z) [/mm] / [mm] \phi(z)$. [/mm] (Nehme den "formalen" Logarithmus von [mm] $\exp(h(z)) [/mm] = [mm] \phi(z)$ [/mm] und leite das ab.) Man konstruiert eine solche Funktion also, indem man eine Stammfunktion von [mm] $\phi'(z) [/mm] / [mm] \phi(z)$ [/mm] findet (die additive Konstante aeussert sich in einer multiplikativen Konstanten von [mm] $\exp(h(z))$).
[/mm]
Ihr habt in euer Vorlesung sicher einen Satz ueber die Existenz von Stammfunktionen auf einfach zusammenhaengenden Gebieten (den wendet man hier an). Schau mal dort in der Naehe, eventuell findet sich dort dieses Ergebnis.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Mi 30.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> danke!
> hat denn der satz, den du mir zu meiner 2. Frage genannt
> hast auch einen Namen? ist es ein bekannter Satz?
Oh ja, sehr bekannt ! Such mal in Büchern zur Funktionentheorie (oder im Netz) nach
"Charakterisierungen einfachzusammenhängender Gebiete"
FRED
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