Nullteiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:17 Mo 23.04.2007 | | Autor: | AriR |
hey leute
angenommen man hat in einer struktur sowas wie
a*b=0
Dann sind ja a und b Nullteiler.
Folgt daraus auch zB [mm] \bruch{a}0=b [/mm] bzw [mm] \bruch{b}0=a
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Mo 23.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Welche Struktur??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Mo 23.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo.
> angenommen man hat in einer struktur sowas wie
>
> a*b=0
>
> Dann sind ja a und b Nullteiler.
>
> Folgt daraus auch zB [mm]\bruch{a}0=b[/mm] bzw [mm]\bruch{b}0=a[/mm]
Die Frage ist, was das Objekt auf der linken Seite sein soll. In einem Ring ist das schlichtweg nicht definiert (es sei denn du bist im Nullring, aber da ist eh alles gleich). Wenn du in einer Gruppe bist, dann hat jedes Element ein Inverses, die Gleichung macht also Sinn. Nur ist die 0 dann wahrscheinlich nicht das, was du denkst, und Brueche auch nicht umbedingt.
Uebrigens: in Ringen folgt aus $a b = c$ noch lange nicht, dass $a$ eindeutig ist, es kann z.B. viele $a$ geben, die die Gleichung $a b = c$ loesen (fuer festes $b$ und $c$). Etwa wenn $b = c = 0$ sind, dann kannst du fuer $a$ einsetzen was du willst. In Koerpern ist das die einzige moegliche Wahl, aber in beliebigen Ringen gibt es auch andere Elemente. Es macht also insbesondere deswegen keinen Sinn, $a = [mm] \frac{c}{b}$ [/mm] zu schreiben, da dies kein eindeutiges Element festlegt.
Ein Beispiel: sei $R = [mm] \IQ^{2 \times 2}$ [/mm] der Ring der $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen ueber [mm] $\IQ$. [/mm] Sei $A = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }$; [/mm] dann gilt $A (b B) = 0$ fuer alle $b [mm] \in \IQ$, [/mm] wenn $B = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }$ [/mm] ist. Was also soll [mm] $\frac{0}{A}$ [/mm] hier sein? $B$? $2 B$? $5 B$? [mm] $\frac{1}{2} [/mm] B$?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Mo 23.04.2007 | | Autor: | AriR |
hey danke felix, habe dich denke ich mal so grob verstanden.
das einzige was mir noch ein wenig schleierhaft ist, ist folgendes:
"Nur ist die 0 dann wahrscheinlich nicht das, was du denkst..."
was genau meinst du denn was ich denke und was ist sie denn wirklich?
gruß ari :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Mo 23.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Ari,
> hey danke felix, habe dich denke ich mal so grob
> verstanden.
schoen :)
> das einzige was mir noch ein wenig schleierhaft ist, ist
> folgendes:
> "Nur ist die 0 dann wahrscheinlich nicht das, was du
> denkst..."
Ich nehme mal an, dass die 0 das neutrale Element beschreiben soll.
- Wenn du die Gruppe multiplikativ schreibst, ist die 0 sozusagen das Einselement.
- Wenn du die Gruppe additiv schreibst, bedeutet [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] gerade $a - b$.
Du denkst bei $0$ wohl eher an ein Element mit $a [mm] \cdot [/mm] 0 = 0 = 0 [mm] \cdot [/mm] a$ fuer alle $a$. Aber soetwas gibt es in einer Gruppe nicht (bzw. nur dann, wenn die Gruppe aus genau einem Element besteht).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Mo 23.04.2007 | | Autor: | AriR |
ja stimmt..
jetzt hab ich es glaub ich :)
danke nochmal für deine mühe
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