Nullteiler eines Ringes < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Fr 01.05.2009 | | Autor: | ChaoZz |
| Aufgabe | | Definition: Elemente a,b eines Ringes mit a [mm] \not= [/mm] 0 ,b [mm] \not= [/mm] 0und a*b=0 heißen Nullteiler von R |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen, ich habe eine Frage zu obigen Definition. Ich hab hier eine Aufgabe die ich auch soweit lösen konnte (Zeigen Sie, dass (R, +, *) einen kommutativen Ring mit Einselement bildet (hab ich soweit gemacht), der Nullteiler enthällt. (das fehlt mir) )
Nun wird auf R eine Addition erklärt durch.
* | a | b | c | d
-------------------
a | a | a | a | a
--------------------
b | a | b | c | d
-------------------
c | a | c | a | c
-------------------
d | a | d | c | b
Um nun obigen Definition (Nullteiler) zu erfüllen, könnte ich lediglich c*c = 0 machen wenn c [mm] \not= [/mm] 0 ist, da durch alle anderen Kombinationen [mm] \not= [/mm] 0 oder a [mm] \not= [/mm] 0 oder b [mm] \not= [/mm] 0 wären.
Wenn ich z.B. definiere a=0 b=1 c=2 d=3 dann ergibt sich folgende Verknüpfungstafel
* | 0 | 1 | 2 | 3
-------------------
0 | 0 | 0 | 0 | 0
--------------------
1 | 0 | 1 | 2 | 3
-------------------
2 | 0 | 2 | 0 | 2
-------------------
3 | 0 | 3 | 2 | 1
Wie man sieht würde nur 2*2=0 gehen, also c*c und nun meine Frage : Geht das? Ich meine, in der Definition steht a*b=0 somit denke ich, dass a und b zwei verschiedene Elemente sein müssten, was ja c*c ausschließt. Vielen Dank vorab.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Fr 01.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Definition: Elemente a,b eines Ringes mit a [mm]\not=[/mm] 0 ,b
> [mm]\not=[/mm] 0und a*b=0 heißen Nullteiler von R
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen, ich habe eine Frage zu obigen Definition.
> Ich hab hier eine Aufgabe die ich auch soweit lösen konnte
> (Zeigen Sie, dass (R, +, *) einen kommutativen Ring mit
> Einselement bildet (hab ich soweit gemacht), der Nullteiler
> enthällt. (das fehlt mir) )
>
> Nun wird auf R eine Addition erklärt durch.
>
> * | a | b | c | d
> -------------------
> a | a | a | a | a
> --------------------
> b | a | b | c | d
> -------------------
> c | a | c | a | c
> -------------------
> d | a | d | c | b
>
> Um nun obigen Definition (Nullteiler) zu erfüllen, könnte
> ich lediglich c*c = 0 machen wenn c [mm]\not=[/mm] 0 ist, da durch
> alle anderen Kombinationen [mm]\not=[/mm] 0 oder a [mm]\not=[/mm] 0 oder b
> [mm]\not=[/mm] 0 wären.
Genau.
> Wenn ich z.B. definiere a=0 b=1 c=2 d=3 dann ergibt sich
> folgende Verknüpfungstafel
>
>
> * | 0 | 1 | 2 | 3
> -------------------
> 0 | 0 | 0 | 0 | 0
> --------------------
> 1 | 0 | 1 | 2 | 3
> -------------------
> 2 | 0 | 2 | 0 | 2
> -------------------
> 3 | 0 | 3 | 2 | 1
>
> Wie man sieht würde nur 2*2=0 gehen, also c*c und nun meine
> Frage : Geht das? Ich meine, in der Definition steht a*b=0
> somit denke ich, dass a und b zwei verschiedene Elemente
> sein müssten, was ja c*c ausschließt. Vielen Dank vorab.
In der Definition steht nicht, dass $a [mm] \neq [/mm] b$ sein muss. Es steht nur, dass $a [mm] \neq [/mm] b$ sein darf. Insofern ist $a = b = 2$ voellig OK.
LG Felix
|
|
|
|
