Numerik / Koeffizientenmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:10 Fr 30.01.2004 | | Autor: | Drey |
Hi !
folgendes Problem:
http://www.informatik.uni-stuttgart.de/ipvr/sgs/lehre/vorlesungen/num_stoch_ws03/Blatt14/blatt14.pdf
bei aufgabe 2 haben wir kleinere Grosse Probleme.
Es fällt unsschwer zu verstehen wie allegemein die yi in die Matrix reinpassen.
Nette erklärung für die koeffizienten der polynome haben wir hier gefunden:
http://home.t-online.de/home/arndt.bruenner/mathe/scripts/kubspline.htm
hat uns aber nicht wirlich weiter geholfen
Danke für Hilfe ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Fr 30.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Drey,
willkommen im MatheRaum!  Schön, dass es doch noch geklappt hat.
Im Handout (Kapitel 2, Folie 26, ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") siehe Anhang) steht folgende Formel:
$ [mm] y_{i-1}'*\frac{1}{h_{i-1}}+y_i'*\left( \frac{2}{h_{i-1}}+ \frac{2}{h_i}\right) [/mm] + [mm] y_{i+1}'*\frac{1}{h_i}=\mbox{rechte Seite}$
[/mm]
[mm] $i=1,\ldots,n-1$
[/mm]
(Laut Aufgabenstellung (s.u.) interessiert die rechte Seite nicht.)
Für [mm] $i=1,\ldots,n-1$ [/mm] ergeben sich daraus folgende Gleichungen:
i=1: $ [mm] y_0'*\frac{1}{h_0}+y_1'*\left( \frac{2}{h_0}+ \frac{2}{h_1}\right) [/mm] + [mm] y_2'*\frac{1}{h_1}=\mbox{rechte Seite}$
[/mm]
i=2: $ [mm] y_1'*\frac{1}{h_1}+y_2'*\left( \frac{2}{h_1}+ \frac{2}{h_2}\right) [/mm] + [mm] y_3'*\frac{1}{h_2}=\mbox{rechte Seite}$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
i=n-1: $ [mm] y_{n-2}'*\frac{1}{h_{n-2}}+y_{n-1}'*\left( \frac{2}{h_{n-2}}+ \frac{2}{h_{n-1}}\right) [/mm] + [mm] y_n'*\frac{1}{h_{n-1}}=\mbox{rechte Seite}$
[/mm]
Trägt man nun die Koeffizienten der [mm] $y_i'$ [/mm] aus jeder der n-1 Gleichungen in diese Tabelle ein
[mm]\begin{array}{l|cccccccccr}
& y_0' & y_1' & y_2' &y_3' &\cdots & y_{n-2}' & y_{n-1}' & y_n' & =& \mbox{rechte Seite}\\ \hline
i=1 &&& &&&&&&=& \mbox{rechte Seite} \\
i=2 & &&&&&&&&=& \mbox{rechte Seite}\\
\vdots & &&&&&&&&\vdots& \vdots\\
i=n-1& &&&&&&&&=& \mbox{rechte Seite}
\end{array}[/mm]
ergibt sich die gesuchte Koeffizienten-Matrix (ich fange mal an, damit die Idee klar wird):
[mm]\begin{array}{l|cccccccccr}
& y_0' & y_1' & y_2' &y_3' &\cdots & y_{n-2}' & y_{n-1}' &y_n' & =& \mbox{rechte Seite}\\ \hline
i=1 &\frac{1}{h_0}&\frac{2}{h_0}+ \frac{2}{h_1}&\frac{1}{h_1} &0&\ldots&0&0&0&=& \mbox{rechte Seite} \\
i=2 &0 &\frac{1}{h_1}&\frac{2}{h_1}+ \frac{2}{h_2}&\frac{1}{h_2}&&0&0&0&=& \mbox{rechte Seite}\\
\vdots & &&&&&&&&\vdots& \vdots\\
i=n-1&0 &0&0&0&\ldots&\frac{1}{h_{n-2}}&\frac{2}{h_{n-2}}+ \frac{2}{h_{n-1}}&\frac{1}{h_{n-1}}&=& \mbox{rechte Seite}
\end{array}[/mm]
Wie im Handout erwähnt, hat diese Matrix obere Dreiecksgestalt.
Nun steht in der Aufgabenstellung noch, dass [mm] $y_0'=y_n'$ [/mm] ist, dass also [mm] $y_0'$ [/mm] keine echte Variable ist; wenn man in den obigen n-1 Gleichungen einfach [mm] $y_0'$ [/mm] durch [mm] $y_n'$ [/mm] ersetzt und dann den resultierenden Koeffizienten von [mm] $y_n'$ [/mm] (durch Ausklammern desselbe) bestimmt, sieht man doch, dass sich die Koeffizienten von [mm] $y_0'$ [/mm] und [mm] $y_n'$ [/mm] einfach zu dem "neuen" Koeffzienten von [mm] $y_n'$ [/mm] addieren; wir können also in unserer Koeffizientenmatrix die erste Spalte zur letzten addieren und die erste Spalte (für die weggefallene Variable [mm] $y_0'$) [/mm] streichen. Zum Glück ist überhaupt nur in der ersten Gleichung der Koeffizient von [mm] $y_0'\neq [/mm] 0$, und dort ist dann sogar [mm] $y_n'=0$. [/mm] Die neue Matrix lautet dann:
[mm]\begin{array}{l|cccccccccr}
& y_1' & y_2' &y_3' &\cdots & y_{n-2}' & y_{n-1}' &y_n' & =& \mbox{rechte Seite}\\ \hline
i=1 &\frac{2}{h_0}+ \frac{2}{h_1}&\frac{1}{h_1} &0&\ldots&0&0&\frac{1}{h_0}&=& \mbox{rechte Seite} \\
i=2 &\frac{1}{h_1}&\frac{2}{h_1}+ \frac{2}{h_2}&\frac{1}{h_2}&&0&0&0&=& \mbox{rechte Seite}\\
\vdots & &&&&&&&\vdots& \vdots\\
i=n-1 &0&0&0&\ldots&\frac{1}{h_{n-2}}&\frac{2}{h_{n-2}}+ \frac{2}{h_{n-1}}&\frac{1}{h_{n-1}}&=& \mbox{rechte Seite}
\end{array}[/mm]
Allerdings muß ich zugeben, dass ich kein tieferes Verständnis von der Materie habe, ich weiß nur so ungefähr, worum es geht. Aber hier sollte ja nur aus mehreren Gleichungen eine Koeffizientenmatrix aufgestellt werden 
Natürlich könnt Ihr gerne Rückfragen stellen.
Alles Gute,
Marc.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Fr 30.01.2004 | | Autor: | Drey |
Super ! Danke
doch leider herrscht immer noch ein Problem, dass die Matrix nicht vollständig ist,
da es ja n unbekannte aber nur n-1 gleichungen gibt. (weiteres Problem wäre dann auch die RL-Zerlgeung der Matrix)
Vielen Dank !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Fr 30.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Drey,
> doch leider herrscht immer noch ein Problem, dass die
> Matrix nicht vollständig ist,
Doch!
> da es ja n unbekannte aber nur n-1 gleichungen gibt.
Dadurch, dass [mm] $y_0'=y_n'$ [/mm] ist, haben wir auch nur $n-1$ Unbekannte.
> (weiteres Problem wäre dann auch die RL-Zerlgeung der
> Matrix)
Klappt's jetzt mir der RL-Zerlegung?
Alles Gute,
Marc.
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![[a]](uploads/forum/00002414/forum-i00002414-n002.png "Dateianhänge"){kind=small}
siehe Anhang![[a]](uploads/forum/00002414/forum-i00002414-n001.png "Dateianhänge"){kind=small}
Aufgabenstellung