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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Surty |
| Aufgabe | Hier die Aufgabe (etwas schwierig diese abzuschreiben, da auch Graphen analysiert werden müssen):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Ich bereite mich derzeit auf das Abitur, besonders in Mathe (Grundkurs) vor. Dazu muss ich sagen, dass ich in Mathe eine absolute Null-Leuchte bin. Bisher konnte ich immer ganz knapp dem Unterkurs entkommen. Nun... die Aufgabe bereitet mir wirklich Kopfschmerzen.
Würde mich freuen, wenn sich die Aufgabe vielleicht mal ein Knobler anschauen, lösen und erklären könnte. Ich weiß, dass das ziemlich viel verlangt ist. Und ich wüsste auch gar nicht, wie ich mich für eure Hilfe bedanken soll :|
Liebe Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Sa 23.02.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Ich weiß, dass das ziemlich viel verlangt ist.
In der Tat 
Ich will dir aber nur Denkanstöße geben. Dann kannst du dich noch einmal dransetzen und wenn du es dann immer noch nicht schaffst, kannst du dich noch einmal melden und vielleicht präziser erläutern, wo es Probleme gibt.
(a) Berechne hier doch einmal Nullstellen und evtl. Hoch- und Tiefpunkte, damit kannst du dann verschiedene Schaubilder ausschließen.
[mm] f_t(x)=(x^2+t)*e^{-tx^2} [/mm] mit [mm] x,t\in\IR
[/mm]
Berechne hier doch z.B. einmal die Nullstellen in Abhängigkeit von t.
Wann ist [mm] f_t(x)=0 [/mm] ?
Wenn [mm] (x^2+t)*e^{-tx^2}=0, [/mm] wann ist das der Fall?
Wenn einer der beiden Faktoren =0 ist. [mm] e^{-tx^2}=\bruch{1}{e^{tx^2}}>0 [/mm] demnach kann dieser Faktor nicht null sein. Bleibt noch:
[mm] (x^2+t)=0 [/mm] ist nur erfüllt, wenn [mm] t\le{0}. [/mm] Dann ist [mm] (x^2-t)=0, [/mm] wenn [mm] x^2=t, [/mm] also [mm] x=\pm\wurzel{t}
[/mm]
[mm] f_t [/mm] hat demnach 2 Nullstellen. Du kannst also [mm] G_2 [/mm] ausschließen, weil in diesem Schaubild 4 Nullstellen existieren.
Berechne doch einmal die Extrema und überprüfe, ob du damit ein weiteres Schaubild ausschließen kannst.
(b) [mm] K_{-1} [/mm] schließt mit der x-Achse eine Fläche ein, deren Inhalt in etwa 1,67 entsprechen soll.
Jetzt sollst du n so bestimmen, dass [mm] P_n [/mm] mit der x-Achse eine Fläche einschließt, die ebenfalls 1,67 beträgt.
Wenn man was von Fläche hört, ist man meist mit dem Integral gut dran. 
[mm] p_n(x)=x^{2n}-1 [/mm] mit [mm] x\in\IR
[/mm]
(c) [mm] d(x)=p_2(x)-f_{-1}(x)=x^4-1-((x^2-1)*e^{x^2})
[/mm]
Jetzt musst du den maximalen Wert von d im Intervall [-1,1] berechnen. Vielleicht liegt in diesem Intervall ein Hochpunkt von d? Einfach mal überprüfen.
(d) Alle t bestimmen für die [mm] K_t [/mm] drei Extrempunkte besitzt.
Extrema liegt dann vor, wenn [mm] f_t'(x)=0. [/mm] Was musst du machen?!
Sorry, hat etwas länger gedauert, hoffe aber, konnte dir helfen.
Aber vorsicht: Auch mir können Fehler unterlaufen sein, also beim Lesen immer kritisch hinterfragen. Bei Unklarheiten....
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Surty |
Vielen lieben Dank! Ich werde mir das die Tage mal genauer ansehen und mich dann gegebenenfalls nochmal melden. Echt toll, danke!! =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Surty |
Ich hab mich jetzt gerade nochmal dran gesetzt (vorher leider nicht die Zeit gefunden... Informatik =/) und hab ein bisschen Probleme die Funktion abzuleiten, damit ich das Extremum berechnen kann. $ [mm] f_t(x)=(x^2+t)\cdot{}e^{-tx^2} [/mm] $
Könntest du mir da nochmals unter die Arme greifen? :)
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Hallo Surty,
> Ich hab mich jetzt gerade nochmal dran gesetzt (vorher
> leider nicht die Zeit gefunden... Informatik =/) und hab
> ein bisschen Probleme die Funktion abzuleiten, damit ich
> das Extremum berechnen kann.
> [mm]f_t(x)=(x^2+t)\cdot{}e^{-tx^2}[/mm]
> Könntest du mir da nochmals unter die Arme greifen? :)
Benutze hier zunächst die Produktregel und danach die Kettenregel um diese Funktion abzuleiten.
Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Surty |
Achso. In der Schule hatten wir nur die Faktorregel und die Summenregel. Die anderen beiden werden im Grundkurs nicht behandelt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Mi 05.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du die Aufgabe d) lösen willst musst du die Ableitung von [mm] e^{-tx^2} [/mm] können. Dazu braucht man aber die sogenannte Kettenregel. Vielleicht hattet ihr die doch?
hier steht ja [mm] e^{f(x)} [/mm]
jetzt gilt [mm] (e^x)'=e^x (e^{f(x)})'=e^{f(x)}*f'(x) [/mm] in deinem Fall mit [mm] f(x)=-t*x^2
[/mm]
ist f'=-2t*x. also ist die Ableitung von
[mm] (e^{-tx^2})'=-2t*x*e^{-tx^2}.
[/mm]
Aber zur Aufgabe a)
Da nur gerade Exponenten von x vorkommen ist f symmetrisch zur y-Achse. das schliesst 1) aus.
2 und 3 gehen beide für große x gegen +Unendlich, das geht nur für t<0.
wenn aber t<0 dann ist [mm] f(0)=t*e^0 [/mm] negativ, d.h.2 kommt nicht in Frage.
3 ist möglich, f(0)<0, sym. f für grosse x + unendlich.
bleibt 4) die könnte nur für t>0 sein, dann geht die Kurve gegen 0 für grosse x.
bei x=0 wäre sie positiv, [mm] f(0)=t*e^0, [/mm] f(0) kann man ablesen, [mm] f(0)\approx=0,8, [/mm] daraus [mm] t\approx [/mm] 0,8/e also etwa t etwa 0,3
jetzt kann man f(1) ungefähr ausrechnen:f(1) [mm] (1+0,3)*e^{0,3}>1 [/mm] aber gezeichnet ist f(1)=1
Also bleibt nur 3.
(Wenn man die Fkt differenzieren kann kann man auch sehen, dass sie bei 1 kein Max hat.)
Für b) musst du nur [mm] p_n [/mm] integrieren, die Grenzen von -1 bis +1, das Ergebnis =1,67 setzen und eine ganze Zahl n bestimmen, so dass das Ergebnis möglichst nahe an 1,67 kommt.
Bei c) und d kommst du nicht ums Ableiten rum, also probier das mal, zu dem was ich geschrieben hab brauchst du ja nur noch die Produktregel.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Surty |
Danke erstmal =)
zu d)
Ich hab nun rausgefunden (mehr durch Probieren als alles andere), dass alle Werte zw 0<t<1 3 Extrempunkte für K mitsich bringen. Allerdings komm ich nicht ganz dahinter, weshalb das so ist. Sobald ich einen wert von bspw. t=1 benutze, existiert nur noch 1 Extrempunkt für K.
Kann mir das jemand erklären? =)
LG,
Surty
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Mi 12.03.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> zu d)
> Ich hab nun rausgefunden (mehr durch Probieren als alles
> andere), dass alle Werte zw 0<t<1 3 Extrempunkte für K
> mitsich bringen. Allerdings komm ich nicht ganz dahinter,
> weshalb das so ist.
probieren ist eine Möglichkeit, aber alles andere als sinnvoll
[mm] f_t(x)=(x^2+t)*e^{-tx^2}
[/mm]
Wir müssen ableiten:
[mm] f_t'(x)=2xe^{-tx^2}+(x^2+1)*-2tx*e^{-tx^2}=2xe^{-tx^2}*(1-x^2-t)
[/mm]
Extrema liegt vor, wenn
[mm] 2xe^{-tx^2}*(1-x^2-t)=0.
[/mm]
[mm] e^{-tx^2}>0{ \forall t,x}
[/mm]
also [mm] 2xe^{-tx^2}*(1-x^2-t)=0, [/mm] wenn [mm] 2x*(1-x^2-t)=0
[/mm]
2x=0 [mm] \gdw [/mm] x=0 (1. Nullstelle) und
[mm] (1-x^2-t)=0, [/mm] daraus ergibt sich: [mm] x^2=1-t
[/mm]
[mm] x=\pm\wurzel{1-t} [/mm] (2. und 3. Nullstelle) ist nur lösbar, wenn [mm] 1-t\ge0 [/mm] und hat 2 Nst., wenn 1-t>0
[mm] 1-t>0\gdw{t<1}
[/mm]
Wenn du überlegst, für t=0 gilt: 1+0=1>0; für t<0 gilt: 1-(-t)>1>0
Du kannst also sagen:
[mm] f_t [/mm] hat 3 Extrema, wenn t<1.
> 0<t<1
stimmt demnach nur fast; deswegen ist ausprobieren nicht sinnvoll.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Surty |
Danke für deine Ausführungen!
Du meintest, füt t<1 hat K 3 Extrempunkte. Wenn ich das jetzt jedoch im Grafikrechner überprüfe, so zeigt er mir bei t<0 nur einen Extrempunkt an. (ganz normale Parabel, nach unten geöffnet). Ist das ein Anzeigefehler oder hab ich deine Erläuterung falsch interpretiert? =D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Do 13.03.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Du meintest, füt t<1 hat K 3 Extrempunkte. Wenn ich das
> jetzt jedoch im Grafikrechner überprüfe, so zeigt er mir
> bei t<0 nur einen Extrempunkt an. (ganz normale Parabel,
> nach unten geöffnet). Ist das ein Anzeigefehler oder hab
> ich deine Erläuterung falsch interpretiert? =D
einen Graphiktaschenrechner Da bist du mir klar im Vorteil.
Behauptung: Für t<0 hat [mm] f_t [/mm] nur einen Extrempunkt.
Gegenbeispiel:
Sei t=(-2)<0: [mm] f_{(-2)}(x)=(x^2-2)\cdot{}e^{-(-2)x^2}=(x^2-2)\cdot{}e^{2x^2}
[/mm]
[mm] f_{(-2)}'(x)=2x*e^{2x^2}+(x^2-2)*4x*e^{2x^2}=2xe^{2x^2}*(1+2x^2-4)=2xe^{2x^2}*(2x^2-3)
[/mm]
[mm] 2xe^{2x^2}*(2x^2-3)=0, [/mm] wenn [mm] x_1=0 [/mm]
oder [mm] 2x^2-3=0, [/mm] also [mm] 2x^2=3\gdw x_2=\wurzel{\bruch{3}{2}}, x_3=-\wurzel{\bruch{3}{2}}
[/mm]
Jetzt noch [mm] f_t'' [/mm] berechnen und [mm] x_1,x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] einsetzen, um zu sehen, ob es sich um einen Hoch- bzw Tiefpunkt handelt.
Wenn mich jetzt nicht alles täuscht
MfG barsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Surty |
Danke =)
Hab die Aufgabe damit nun endlich abgehakt ^^
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