ON-Basis aus simultanen EV < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:57 So 06.09.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler unitärere Vektorraum, seien f, g Endomorphismen von V.
a) Ist f [mm] \circ [/mm] g = g [mm] \circ [/mm] f, so ist jeder Eigenraum von f g-invariant.
b) Genau dann hat V eine ON-Basis aus simultanen Eigenvektoren von f und g, wenn f und g normal sind und f [mm] \circ [/mm] g = g [mm] \circ [/mm] f ist. |
Hallo,
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Aufgabenteil a) ist mir klar. Bei b) habe ich mir folgende Gedanken gemacht: weil f und g normal sind folgt aus dem Spektralsatz (es ist ja V ein unitärer VR, also über C), dass V die orthogonale direkte Summe aus Eigenräumen von f bzw. g ist. Also gibt es schon mal eine ON-Basis von V aus Eigenvektoren von f und eine ON-Basis von V aus Eigenvektoren von g. Jetzt muss ich noch zeigen, dass es eben eine ON-Basis aus simultanen Eigenvektoren gibt.
Wie mache ich das?? Vielleicht ist dieser Ansatz etwas: Sei x [mm] \in [/mm] V ein Eigenvektor von g zum Eigenwert a, also g(x)=ax. Da x [mm] \in [/mm] V kann x eindeutig dargestellt werden als [mm] x=v_1+...+v_r, [/mm] wobei [mm] v_i [/mm] sind Eigenvektoren von f zu den Eigenwerten [mm] \lambda_i. [/mm] Ich muss irgendwie noch die Voraussetzung verwenden... es ist [mm] \summe \lambda_i g(v_i) [/mm] = g [mm] \circ [/mm] f(x) = f [mm] \circ [/mm] g(x) = a* [mm] \summe \lambda_iv_i
[/mm]
also
[mm] \lambda_1g(v_1)+...+\lambda_rg(v_r) [/mm] = a [mm] \lambda_1v_1+...+a\lambda_rv_r
[/mm]
Ist das Quatsch oder hilft das weiter?
Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar, moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:15 So 06.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei V ein endlichdimensionaler unitärere Vektorraum, seien
> f, g Endomorphismen von V.
> a) Ist f [mm]\circ[/mm] g = g [mm]\circ[/mm] f, so ist jeder Eigenraum von f
> g-invariant.
> b) Genau dann hat V eine ON-Basis aus simultanen
> Eigenvektoren von f und g, wenn f und g normal sind und f
> [mm]\circ[/mm] g = g [mm]\circ[/mm] f ist.
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.
> Aufgabenteil a) ist mir klar. Bei b) habe ich mir folgende
> Gedanken gemacht: weil f und g normal sind folgt aus dem
> Spektralsatz (es ist ja V ein unitärer VR, also über C),
> dass V die orthogonale direkte Summe aus Eigenräumen von f
> bzw. g ist. Also gibt es schon mal eine ON-Basis von V aus
> Eigenvektoren von f und eine ON-Basis von V aus
> Eigenvektoren von g. Jetzt muss ich noch zeigen, dass es
> eben eine ON-Basis aus simultanen Eigenvektoren gibt.
Ja.
> Wie mache ich das?? Vielleicht ist dieser Ansatz etwas: Sei
> x [mm]\in[/mm] V ein Eigenvektor von g zum Eigenwert a, also
> g(x)=ax. Da x [mm]\in[/mm] V kann x eindeutig dargestellt werden als
> [mm]x=v_1+...+v_r,[/mm] wobei [mm]v_i[/mm] sind Eigenvektoren von f zu den
> Eigenwerten [mm]\lambda_i.[/mm] Ich muss irgendwie noch die
> Voraussetzung verwenden... es ist [mm]\summe \lambda_i g(v_i)[/mm] =
> g [mm]\circ[/mm] f(x) = f [mm]\circ[/mm] g(x) = a* [mm]\summe \lambda_iv_i[/mm]
> also
> [mm]\lambda_1g(v_1)+...+\lambda_rg(v_r)[/mm] = a
> [mm]\lambda_1v_1+...+a\lambda_rv_r[/mm]
> Ist das Quatsch oder hilft das weiter?
Es ist kein Quatsch, aber es hilft dir auch nicht weiter.
Seien [mm] $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ [/mm] die Eigenwerte von $f$ und [mm] $V_1, \dots, V_r$ [/mm] die entsprechenden Eigenraeume. Da $f$ normal ist folgt [mm] $V_1 \oplus \dots \oplus V_r [/mm] = V$ und die [mm] $V_i$ [/mm] sind paarweise orthogonal zueinander.
Nach Teil (a) gilt [mm] $g(V_i) \subseteq V_i$, [/mm] womit [mm] $g_i [/mm] := [mm] g|_{V_i} [/mm] : [mm] V_i \to V_i$ [/mm] wieder ein Endomorphismus ist. Nun ist [mm] $g_i^{ad} [/mm] = [mm] g^{ad}|_{V_i}$ [/mm] (nachrechnen!) und somit ist [mm] $g_i$ [/mm] ebenfalls normal, womit es eine Ortogonalbasis [mm] $B_i$ [/mm] von [mm] $V_i$ [/mm] gibt, bzgl. der [mm] $g_i$ [/mm] in Diaognalform ist. Nun ist [mm] $f|_{V_i} [/mm] : [mm] V_i \to V_i$ [/mm] gerade die Multiplikation mit [mm] $\lambda_i$, [/mm] womit dies bzgl. [mm] $B_i$ [/mm] ebenfalls in Diagonalform ist.
Jetzt nimm $B := [mm] B_1 \cup \dots \cup B_r$ [/mm] und zeige, dass dies eine Basis von $V$ ist, bzgl. der sowohl $f$ wie auch $g$ in Diagonalform sind. (Dazu musst du alles was oben steht richtig zusammensetzen.)
Nochwas: hast du dir die Rueckrichtung schon angeschaut?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 So 06.09.2009 | | Autor: | moerni |
Danke für die rasche Antwort.
>>Seien [mm] \lambda_1,...,\lambda_r [/mm] die Eigenwerte von f und [mm] V_1,...,V_r [/mm] die entsprechenden Eigenraeume. Da f normal ist folgt
[mm] >>V=V_1 >>\oplus...\oplus V_r [/mm] und die [mm] V_i [/mm] sind paarweise orthogonal zueinander.
>>Nach Teil (a) gilt [mm] g(V_i) \subseteq V_i, [/mm] womit [mm] g_i:=g|_{V_i} [/mm] : [mm] V_i \to V_i [/mm] wieder ein Endomorphismus ist. Nun ist [mm] g_i^{ad}=g^{ad}|_{V_i}
[/mm]
>>(nachrechnen!)...
bis hierhin habe ich das gut verstanden, aber das nachrechnen gelingt mir leider nicht. Ich weiß nur [mm] = [/mm] mit [mm] v_1, v_2 \in V_i. [/mm] Was kann ich damit anfangen? Wie geht das nachrechnen?
>>... und somit ist [mm] g_i [/mm] ebenfalls normal, womit es eine Ortogonalbasis [mm] B_i [/mm] von [mm] V_i [/mm] gibt, bzgl. der [mm] g_i [/mm] in
>>Diaognalform ist. Nun ist [mm] f|_{V_i}: V_i \to >>V_i [/mm] gerade die Multiplikation mit [mm] \lambda_i, [/mm] womit dies bzgl. [mm] B_i [/mm] ebenfalls in
>>Diagonalform ist.
Habe ich das so richtig verstanden: sei [mm] B=(w_1,...,w_k) [/mm] ONB von [mm] V_i [/mm] aus Eigenvektoren von g. Da ja [mm] w_i \in V_i [/mm] ist, ist [mm] f(w_i)=\lambda_iw_i, [/mm] also ist auch B eine Basis aus Eigenvektoren von f.
>>Jetzt nimm [mm] B:=B_1 \cup...\cup B_r [/mm] und zeige, dass dies eine Basis von V ist, bzgl. der sowohl f wie auch g in >>Diagonalform sind. (Dazu musst du alles was oben steht richtig zusammensetzen.)
Kann ich da so argumentieren (?): wie am Anfang festgestellt, ist, da f normal, V die orthogonale direkte Summe aus Eigenräumen [mm] V_i [/mm] von f. Wenn ich nun die Basen der Eigenräume [mm] V_i [/mm] zusammensetze, erhalte ich also eine Basis von V.
>>Nochwas: hast du dir die Rueckrichtung schon angeschaut?
Ich habe folgendes probiert: V hat ONB aus simultanen Eigenvektoren von f und g. Dann sind f und g nach dem Spektralsatz über C normal. zz. bleibt, dass f und g vertauschbar sind. Sei [mm] B=(v_1,...,v_n) [/mm] eine ONB aus simultanen Eigenvektoren. Dann ist für den i-ten Vektor [mm] f(v_i)=\lambda_iv_i [/mm] und [mm] g(v_i)=a_iv_i. [/mm]
f [mm] \circ [/mm] g [mm] (v_i) [/mm] = [mm] f(a_iv_i) [/mm] = [mm] a_if(v_i) [/mm] = [mm] a_i\lambda_iv_i [/mm] = [mm] \lambda_ia_iv_i [/mm] = [mm] g(\lambda_iv_i) [/mm] = g [mm] \circ f(v_i)
[/mm]
das gilt für jeden Basisvektor aus B. Da also f, g vertauschbar sind für die Basisvektoren, sind somit f und g für alle Vektoren aus V vertauschbar.
Geht das so?
Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar.
moerni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 So 06.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Uebrigens: wenn du richtig zitieren wuerdest, also "> Text" vorne anstelle ">>Text", dann koennte man viel besser erkennen was zitiert ist und was nicht und das ganze auch viel besser lesen, grad wenn ich das zitierte wieder zitiere.
> >>Seien [mm]\lambda_1,...,\lambda_r[/mm] die Eigenwerte von f und
> [mm]V_1,...,V_r[/mm] die entsprechenden Eigenraeume. Da f normal ist
> folgt
> [mm]>>V=V_1 >>\oplus...\oplus V_r[/mm] und die [mm]V_i[/mm] sind paarweise
> orthogonal zueinander.
>
> >>Nach Teil (a) gilt [mm]g(V_i) \subseteq V_i,[/mm] womit
> [mm]g_i:=g|_{V_i}[/mm] : [mm]V_i \to V_i[/mm] wieder ein Endomorphismus ist.
> Nun ist [mm]g_i^{ad}=g^{ad}|_{V_i}[/mm]
> >>(nachrechnen!)...
>
> bis hierhin habe ich das gut verstanden, aber das
> nachrechnen gelingt mir leider nicht. Ich weiß nur
> [mm]=[/mm] mit [mm]v_1, v_2 \in V_i.[/mm] Was
> kann ich damit anfangen? Wie geht das nachrechnen?
Nun, [mm] $g_i^{ad}$ [/mm] ist eindeutig dadurch bestimmt, dass fuer alle [mm] $v_1, v_2 \in V_i$ [/mm] gilt [mm] $\langle g_i(v_1), v_2 \rangle [/mm] = [mm] \langle v_1, g_i^{ad}(v_2) \rangle$.
[/mm]
Wenn also [mm] $g^{ad}(V_i) \subseteq V_i$ [/mm] gilt (warum?) und [mm] $g^{ad}|_{V_i}$ [/mm] die Skalarproduktbedingung genauso erfuellt, dann muss [mm] $g^{ad}|_{V_i} [/mm] = [mm] g_i^{ad}$ [/mm] sein.
> >>... und somit ist [mm]g_i[/mm] ebenfalls normal, womit es eine
> Ortogonalbasis [mm]B_i[/mm] von [mm]V_i[/mm] gibt, bzgl. der [mm]g_i[/mm] in
> >>Diaognalform ist. Nun ist [mm]f|_{V_i}: V_i \to >>V_i[/mm] gerade
> die Multiplikation mit [mm]\lambda_i,[/mm] womit dies bzgl. [mm]B_i[/mm]
> ebenfalls in
> >>Diagonalform ist.
>
> Habe ich das so richtig verstanden: sei [mm]B=(w_1,...,w_k)[/mm] ONB
> von [mm]V_i[/mm] aus Eigenvektoren von g. Da ja [mm]w_i \in V_i[/mm] ist, ist
> [mm]f(w_i)=\lambda_iw_i,[/mm] also ist auch B eine Basis aus
> Eigenvektoren von f.
Ja.
> >>Jetzt nimm [mm]B:=B_1 \cup...\cup B_r[/mm] und zeige, dass dies
> eine Basis von V ist, bzgl. der sowohl f wie auch g in
> >>Diagonalform sind. (Dazu musst du alles was oben steht
> richtig zusammensetzen.)
>
> Kann ich da so argumentieren (?): wie am Anfang
> festgestellt, ist, da f normal, V die orthogonale direkte
> Summe aus Eigenräumen [mm]V_i[/mm] von f. Wenn ich nun die Basen
> der Eigenräume [mm]V_i[/mm] zusammensetze, erhalte ich also eine
> Basis von V.
Genau.
Und warum ist es eine Orthonormalbasis von $V$?
> >>Nochwas: hast du dir die Rueckrichtung schon angeschaut?
>
> Ich habe folgendes probiert: V hat ONB aus simultanen
> Eigenvektoren von f und g. Dann sind f und g nach dem
> Spektralsatz über C normal.
Ja.
> zz. bleibt, dass f und g
> vertauschbar sind.
Genau.
> Sei [mm]B=(v_1,...,v_n)[/mm] eine ONB aus
> simultanen Eigenvektoren. Dann ist für den i-ten Vektor
> [mm]f(v_i)=\lambda_iv_i[/mm] und [mm]g(v_i)=a_iv_i.[/mm]
> f [mm]\circ[/mm] g [mm](v_i)[/mm] = [mm]f(a_iv_i)[/mm] = [mm]a_if(v_i)[/mm] = [mm]a_i\lambda_iv_i[/mm] =
> [mm]\lambda_ia_iv_i[/mm] = [mm]g(\lambda_iv_i)[/mm] = g [mm]\circ f(v_i)[/mm]
> das
> gilt für jeden Basisvektor aus B. Da also f, g
> vertauschbar sind für die Basisvektoren, sind somit f und
> g für alle Vektoren aus V vertauschbar.
> Geht das so?
Ja.
LG Felix
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