ONB, Skalarprodukt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Mo 27.06.2011 | | Autor: | leye88 |
| Aufgabe | Sei auf [mm] \IR^{2} [/mm] ein Skalarprodukt <.,.> : [mm] \IR^{2} [/mm] x [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] definiert durch <x,y>:= [mm] 4x_{1}y_{1} [/mm] - [mm] 2x_{1}y_{2} [/mm] - [mm] 2x_{2}y_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2}y_{2}\bruch
[/mm]
Nun muss ich zeigen, dass [mm] f_{1}=(\bruch{\bruch{1}{2}}{0}) [/mm] und [mm] f_{2}=\bruch{1}{\wurzel{2}}({\bruch{{\bruch{1}{2}}}{1}}) [/mm] eine ONB von [mm] (\IR^{2},<.,.>) [/mm] bilden |
Ich weiß, wenn eine ONB vorliegt muss gelten:
xy= [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}
[/mm]
und wenn x und y orthogonal sind, so muss das Produkt dieser beiden Null ergeben.
Aber ich verstehe nicht wie ich das zeigen kann. Muss ich für [mm] x_{1} [/mm] und [mm] y_{1} [/mm] die Vektoren einsetzen?
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> Sei auf [mm]\IR^{2}[/mm] ein Skalarprodukt <.,.> : [mm]\IR^{2}[/mm] x [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm]
> definiert durch <x,y>:= [mm]4x_{1}y_{1}[/mm] - [mm]2x_{1}y_{2}[/mm] -
> [mm]2x_{2}y_{1}[/mm] + [mm]3x_{2}y_{2}\bruch[/mm]
>
> Nun muss ich zeigen, dass [mm]f_{1}=(\bruch{\bruch{1}{2}}{0})[/mm]
> und
> [mm]f_{2}=\bruch{1}{\wurzel{2}}({\bruch{{\bruch{1}{2}}}{1}})[/mm]
> eine ONB von [mm](\IR^{2},<.,.>)[/mm] bilden
Hallo,
Du meinst die Vektoren [mm] f_1:=\vektor{\bruch{1}{2}\\ 0} [/mm] und [mm] f_2:=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{\bruch{1}{2}\\1}?
[/mm]
> Ich weiß, wenn eine ONB vorliegt muss gelten:
> xy= [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}[/mm]
Unfug.
> und wenn x und y
> orthogonal sind, so muss das Produkt dieser beiden Null
> ergeben.
Ja, es muß [mm] =0 [/mm] sein,
und die beiden Vektoren müssen normiert sein, es muß also sein [mm] =1 [/mm] und [mm] =1.
[/mm]
> Aber ich verstehe nicht wie ich das zeigen kann. Muss ich
> für [mm]x_{1}[/mm] und [mm]y_{1}[/mm] die Vektoren einsetzen?
Es ist [mm] x=\vektor{x_1\\x_2}, [/mm] y entsprechend.
Gruß v. Angela
</x,y>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Mo 27.06.2011 | | Autor: | leye88 |
Ich habe die beiden Vektoren erst einmal normiert:
$ [mm] [/mm] $ = [mm] 2(\bruch{\bruch{1}{2}}{0})
[/mm]
$ [mm] [/mm] $ = [mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{5}{8}}}(\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{2}}}{\bruch{1}{\wurzel{2}}})
[/mm]
Wie gehts nun weiter?
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> Ich habe die beiden Vektoren erst einmal normiert:
Hallo,
es sind hier keine Vektoren zu normieren.
Du sollst zeigen, daß [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] beide normiert sind, und daß sie orthogonal sind.
>
> [mm][/mm] = [mm]2(\bruch{\bruch{1}{2}}{0})[/mm]
Mein Gott!
1. Was hast Du getan?
2. Weißt Du, daß die spitzen Klammern für das in der Aufgabe definierte Skalarprodukt stehen?
3. Weißt Du, daß das Ergebnis dieses Skalarproduktes eine zahl ist?
4. Schreib die Vektoren gescheit. Ohne Strich in der Mitte. (Wenn Du bei meinem Post auf "Quelltext" klickst, dann siehst Du, wie es geht.)
Ich krieg' ein ganz ungutes Gefühl...
Ich glaub' Du wurschtelst irgendwie mit dem Standardskalarprodukt herum.
Es geht aber um das Skalarprodukt, welches in der Aufgabenstellung definiert wurde. Das mußt Du nehmen.
Wenn Du's richtig machst und in der Aufgabenstellung kein Fehler ist, kannst Du nachrechnen, daß [mm] =1.
[/mm]
Gruß v. Angela
> [mm][/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{\bruch{5}{8}}}(\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{2}}}{\bruch{1}{\wurzel{2}}})[/mm]
>
> Wie gehts nun weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Mo 27.06.2011 | | Autor: | leye88 |
Ohh da habe ich ja einiges verwechselt...
Muss ich nun
$ [mm] x=\vektor{x_1\\x_2} [/mm] $ = [mm] \bruch{0,5}{0}
[/mm]
in mein Skalarprodukt einsetzen:
$ [mm] 4x_{1}y_{1} [/mm] $- $ [mm] 2x_{1}y_{2} [/mm] $- $ [mm] 2x_{2}y_{1} [/mm] $+ $ [mm] 3x_{2}y_{2}\bruch [/mm] $
und das ist dann [mm]
[/mm]
Sorry ich bin gerade durcheinander :(
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Hallo leye88,
> Ohh da habe ich ja einiges verwechselt...
>
> Muss ich nun
> [mm]x=\vektor{x_1\\
x_2}[/mm] = [mm]\bruch{0,5}{0}[/mm]
Du mischt Brüche und Vektoren, grausam zu lesen ist das!
> in mein Skalarprodukt einsetzen:
>
> [mm]4x_{1}y_{1} [/mm]- [mm]2x_{1}y_{2} [/mm]- [mm]2x_{2}y_{1} [/mm]+ [mm]3x_{2}y_{2}\bruch[/mm]
> und das ist dann [mm][/mm]
Es ist [mm]\langle f_1,f_1\rangle=\left\langle\vektor{1/2\\
0},\vektor{1/2\\
0}\right\rangle=4\cdot{}\underbrace{\frac{1}{2}}_{x_1}\cdot{}\underbrace{\frac{1}{2}}_{y_1}-2\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}0-2\cdot{}0\cdot{}\frac{1}{2}+3\cdot{}0\cdot{}0=...=1[/mm]
Also ist [mm]f_1[/mm] bzgl. des gegebenen Skalarproduktes normiert.
Rechne selbiges für [mm]f_2[/mm] nach und prüfe noch, ob [mm]f_1,f_2[/mm] orthogonal bzgl. des hier gegebenen Skalarproduktes sind ...
>
> Sorry ich bin gerade durcheinander :(
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mo 27.06.2011 | | Autor: | leye88 |
Ich habe doch nur die Schreibweise verwechselt...
Nun habe ich für [mm] =1 [/mm] raus.
und für die Orthogonalität habe ich Null raus.
Ist das damit schon gezeigt?
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Hallo nochmal,
> Ich habe doch nur die Schreibweise verwechselt...
Das ist mir bewußt, leider zieht es sich ja durch den ganzen thread, daher hatte ich darauf hingewiesen ...
>
> Nun habe ich für [mm]=1[/mm] raus.
> und für die Orthogonalität habe ich Null raus.
> Ist das damit schon gezeigt?
Du hast nun gezeigt, dass die beiden Vektoren ein Orthonormalsystem im [mm] $\IR^2$ [/mm] bilden (bzgl. des gegebenen Skalarproduktes)
Wie sieht es mit der Eigenschaft, "Basis" zu sein aus?
Ist da noch was zu tun?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Mo 27.06.2011 | | Autor: | leye88 |
Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Muss ich es mit der kanonische Basis zeigen oder mit
a,b [mm] \in \IR
[/mm]
a*x + b*y = 0
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Hallo nochmal,
> Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Ja!
>
> Muss ich es mit der kanonische Basis zeigen oder mit
> a,b [mm]\in \IR[/mm]
> a*x + b*y = 0
Na, die Dimension des [mm] $\IR^2$ [/mm] ist doch 2.
Deine beiden Vektoren bilden also eine Basis des [mm] $\IR^2$, [/mm] wenn sie linear unabh. sind.
Ist da noch was zu zeigen oder ist die lineare Unabh. aus dem vorher Gezeigten schon klar?
Darauf zielte meine Bemerkung ab ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:07 Mo 27.06.2011 | | Autor: | leye88 |
Achso ich bräuchte das nicht mehr zu zeigen, da im letzten Schritt die lineare Unabhängigkeit (=0) schon gezeigt hatte.
Aber ich muss noch die Fourierentwicklung von [mm] x=\vektor{3 \\ 2} [/mm] berechnen.
Brauche ich eine periodische Fortsetzung ?
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> Aber ich muss noch die Fourierentwicklung von [mm]x=\vektor{3 \\
2}[/mm]
> berechnen.
> Brauche ich eine periodische Fortsetzung ?
>
Hallo,
Du hast es fast geschafft, mich abzuhängen...
Aber so leicht geb' ich nicht auf: ein Blick in die Wikipedia sagt mir, was wohl gemeint sein wird.
Und da Du anscheinend auch nicht aus dem Stand durchblickst, solltest Du jetzt erstmal in Deinen Unterlagen nachschlagen und hier aufschreiben, was mit dieser Fourierentwicklung gemeint ist.
Ein wenig beschleicht mich allerdings der Verdacht, daß dies sogar in der Aufgabenstellung steht. Falls ja, umso besser: dann sparst Du Dir das Suchen in Deinen Aufzeichnungen.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:36 Di 28.06.2011 | | Autor: | leye88 |
Ich habe mir die Fourier- Formel angeguckt, jedoch sehe ich da keinen Zusammenhang.
[mm] f(t)=\bruch{a_{0}}{2} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(a_{k} [/mm] cos (kwt) + [mm] b_{k} [/mm] sin(kwt))
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> Ich habe mir die Fourier- Formel angeguckt, jedoch sehe ich
> da keinen Zusammenhang.
>
> [mm]f(t)=\bruch{a_{0}}{2}[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(a_{k}[/mm] cos (kwt) + [mm]b_{k}[/mm] sin(kwt))
Hallo,
siehste, deshalb war ich zunächst auch irritiert.
Ich hab' dann aber auf der wikipedia-Seite mal ein bißchen weiter geschaut - bis ganz ans Ende...
Ich gehe davon aus, daß Deine Aufgabe auf einem Übungsblatt steht.
Vielleicht verrätst Du uns mal, wie sie im Originaltext lautet. Mit Vor- und Nachwort.
Wenn diese Fouriergeschichte auf dem Aufgabenblatt nicht erklärt ist, dann wird sie in der Vorlesung drangewesen sein, und Du mußt dort nachschlagen. Das ist Dein Job.
Dann kannst Du ja mal vergleichen, ob's zu dem, was in der Wikipedia steht, paßt.
Und wenn Du's fein aufgeschrieben hast, können wir es auch hier besprechen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Di 28.06.2011 | | Autor: | leye88 |
Ich habe nun dieses gefunden:
[mm] \lambda_{j}=\bruch{}{}
[/mm]
kann ich das mit [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{2} [/mm] jeweils berechnen
oder muss mein definiertes Skalarprodukt mit einbeziehen.
In der Aufgabenstellung war nichts weiter gegeben als "Berechnen Sie die Fourierentwicklung".
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> Ich habe nun dieses gefunden:
>
> [mm]\lambda_{j}=\bruch{}{}[/mm]
>
> kann ich das mit [mm]f_{1}[/mm] und [mm]f_{2}[/mm] jeweils berechnen
> oder muss mein definiertes Skalarprodukt mit einbeziehen.
Hallo,
die spitzen Klammern stehen für ein Skalarprodukt...
Ja, Du brauchst [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] dafür.
Vor allen aber mußt Du wissen, was Du mit den [mm] \lambda_j [/mm] machen willst, und was die Buchstaben zu bedeuten haben.
>
> In der Aufgabenstellung war nichts weiter gegeben als
> "Berechnen Sie die Fourierentwicklung".
Du studierst wirklich Mathematik?
Du wirst an Deiner Arbeitsweise viel ändern müssen, wenn Du Erfolg haben möchtest. Du solltest entschieden aktiver werden. Die gebratenen Tauben fliegen einem nur im Schlaraffenland in den Mund...
Dein Koeffizient [mm] \lambda_j [/mm] sieht ja nicht übel aus, aber der nützt Dir gar nichts, wenn Du nicht das Drumherum mit anschaust und aufschreibst.
Das [mm] \lambda_j [/mm] stand doch nicht allein irgendwo auf einer Seite.
Wo hast Du ihn denn her? Aus dem Skript? Aus einem Buch?
Da wird ja irgendwas gestanden haben, dem Du entnehmen konntest, daß es was mit "Fourier" zu tun hat, es wird dagestanden haben, was die [mm] v_j [/mm] sind, was das x sein soll - und auch, was man mit den [mm] \lambda_j [/mm] vorhat.
Das braucht man doch alles!
Versteh mich nicht falsch: ich möchte Dir wirklich gern helfen, erwarte aber angemessene Aktivitäten von Dir.
Das pure Wiedergeben von Definitionen, Sätzen etc. sollte doch wirklich drinliegen, oder?
Dann mach mal jetzt.
Gruß v. Angela
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