ONB aus Eig.vekt. konstruieren < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (i) Konstruieren Sie eine ONB von [mm] $V:=\IR^2$, [/mm] die aus Eigenvektoren der linearen Abbildung [mm] $f:V\to V,(a,b)\mapsto (\bruch{12}{13}a+\bruch{5}{13}b,\bruch{5}{13}a-\bruch{12}{13}b)$ [/mm] besteht.
(ii) Zeigen Sie, dass f selbstadjungiert und eine Isometrie ist. |
Ich hab keine Ahnung, wie ich die Sache lösen soll. Meine Idee wäre zu (i):
1. Matrix bzgl. Standardbasis des [mm] \IR^2 [/mm] aufstellen
2. Eigenwerte und Eigenräume(Eigenvektoren) berechnen
3. ONB aus Eigenvektoren basteln (Gram-Schmidt)
4. ONB als Spalten wieder in Matrix schreiben
5. fertig
Stimmt das so? Es kommen nähmlich komische Werte heraus.
Meine Eigenwerte sind 1,-1 und Eigenvektoren sind:
[mm] $a_1 [/mm] = [mm] (5,-\bruch{1}{5})$
[/mm]
[mm] $a_2=(1,1)$
[/mm]
stimmt das so?
Die komischen Werte kommen nach Gram-Schmidt erst.
[mm] $b_1=(\sqrt{2},\sqrt{2})$
[/mm]
[mm] $b_2=\bruch{2}{5}*\sqrt(1489)*(-8,-66)$
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Mo 01.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> (i) Konstruieren Sie eine ONB von [mm]V:=\IR^2[/mm], die aus
> Eigenvektoren der linearen Abbildung [mm]f:V\to V,(a,b)\mapsto (\bruch{12}{13}a+\bruch{5}{13}b,\bruch{5}{13}a-\bruch{12}{13}b)[/mm]
> besteht.
> (ii) Zeigen Sie, dass f selbstadjungiert und eine
> Isometrie ist.
> Ich hab keine Ahnung, wie ich die Sache lösen soll. Meine
> Idee wäre zu (i):
> 1. Matrix bzgl. Standardbasis des [mm]\IR^2[/mm] aufstellen
> 2. Eigenwerte und Eigenräume(Eigenvektoren) berechnen
> 3. ONB aus Eigenvektoren basteln (Gram-Schmidt)
O.K.
> 4. ONB als Spalten wieder in Matrix schreiben
> 5. fertig
>
> Stimmt das so? Es kommen nähmlich komische Werte heraus.
> Meine Eigenwerte sind 1,-1
Stimmt
> und Eigenvektoren sind:
> [mm]a_1 = (5,-\bruch{1}{5})[/mm]
> [mm]a_2=(1,1)[/mm]
Die Eigenvektoren stimmen nicht !
FRED
>
> stimmt das so?
>
> Die komischen Werte kommen nach Gram-Schmidt erst.
> [mm]b_1=(\sqrt{2},\sqrt{2})[/mm]
> [mm]b_2=\bruch{2}{5}*\sqrt(1489)*(-8,-66)[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Ok ich habe jetzt als Eigenwerte 1,-1 und als Eigenvektoren:
[mm] $v_1=\vektor{1 \\ -5}$ [/mm] für 1 und
[mm] $v_{2}=\vektor{1 \\ \frac{1}{5}}$ [/mm] für -1
Nach Gram-Schmidt habe ich
[mm] $b_1=\frac{1}{\sqrt{26}}\vektor{1 \\ -5}$ [/mm] und
[mm] $b_{2}=\frac{1}{\sqrt{26}}\vektor{1 \\ \frac{1}{5}}$
[/mm]
Schreibe das jetzt wieder als Matrix:
[mm] $B=\pmat{ \frac{1}{\sqrt{26}} & \frac{1}{\sqrt{26}} \\ \frac{-5}{\sqrt{26}} & \frac{1}{\sqrt{26}}\frac{1}{5} }$
[/mm]
Damit ist es aber keine Abbildung, die selbstadjungiert ist, da [mm] $B\neq B^T$
[/mm]
Oder muss ich A betrachten? Eigentlich sollte es ja egal sein?
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Hallo,
> Ok ich habe jetzt als Eigenwerte 1,-1 und als
> Eigenvektoren:
> [mm]v_1=\vektor{1 \\ -5}[/mm] für 1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Für [mm] $\lambda=1$ [/mm] komme ich auf den Eigenvektor [mm] $v_1=\vektor{5\\1}$
[/mm]
Rechne mal vor ...
> und [mm]v_{2}=\vektor{1 \\ \frac{1}{5}}[/mm] für -1
Das erhalte ich auch nicht, ich komme auf [mm] $v_2=\vektor{-\frac{1}{5}\\1}$ [/mm] oder "schöner" [mm] $v_2=\vektor{-1\\5}$
[/mm]
>
> Nach Gram-Schmidt habe ich
> [mm]b_1=\frac{1}{\sqrt{26}}\vektor{1 \\ -5}[/mm] und
> [mm]b_{2}=\frac{1}{\sqrt{26}}\vektor{1 \\ \frac{1}{5}}[/mm]
>
> Schreibe das jetzt wieder als Matrix:
>
> [mm]B=\pmat{ \frac{1}{\sqrt{26}} & \frac{1}{\sqrt{26}} \\ \frac{-5}{\sqrt{26}} & \frac{1}{\sqrt{26}}\frac{1}{5} }[/mm]
>
> Damit ist es aber keine Abbildung, die selbstadjungiert
> ist, da [mm]B\neq B^T[/mm]
> Oder muss ich A betrachten? Eigentlich
> sollte es ja egal sein?
Zeige mal deine Rechnung für die Eigenvektoren her, da scheint mir etwas im Argen zu liegen ...
Am besten auch mal die Abbildungsmatrix, mit der du rechnest ...
Und Gram-Schmidt bracuhst du doch gar nicht.
Die Abbildungsmatrix ist doch symmetrisch, also sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal.
Du musst also nur die Eigenvektoren normieren ...
Gruß
schachuzipus
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Arrg. Ich habe aus einem Minus ein Plus gemacht. Naja, jedenfalls habe ich jetzt auch die Eigenvektoren:
$ [mm] v_1=\vektor{5\\1} [/mm] $
$ [mm] v_2=\vektor{-1\\5} [/mm] $
Normalisieren
$ [mm] b_1=\frac{1}{26}\vektor{5\\1} [/mm] $
$ [mm] b_2=\frac{1}{26}\vektor{-1\\5} [/mm] $
Die Abbildungsmatrix ist ja:
[mm] $A=\pmat{ \frac{12}{13} & \frac{5}{13} \\ \frac{5}{13} & \frac{-12}{13} }$
[/mm]
Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, dann habe ich ja mit [mm] $b_1,b_2$ [/mm] eine ONB angegeben.
Und die Funktion f ist selbstadjungiert, da A symmetrisch ist. Oder muss ich hier noch eine Abbildungsmatrix mit der ONB basteln und zeigen, dass diese symmetrisch ist?
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> Arrg. Ich habe aus einem Minus ein Plus gemacht. Naja,
> jedenfalls habe ich jetzt auch die Eigenvektoren:
> [mm]v_1=\vektor{5\\1}[/mm]
> [mm]v_2=\vektor{-1\\5}[/mm]
>
> Normalisieren
>
> [mm]b_1=\frac{1}{26}\vektor{5\\1}[/mm]
> [mm]b_2=\frac{1}{26}\vektor{-1\\5}[/mm]
Hallo,
Deine Normierung solltest Du überdenken...
>
> Die Abbildungsmatrix ist ja:
> [mm]A=\pmat{ \frac{12}{13} & \frac{5}{13} \\ \frac{5}{13} & \frac{-12}{13} }[/mm]
Ja.
>
> Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, dann habe ich ja mit
> [mm]b_1,b_2[/mm] eine ONB angegeben.
Bei richtiger Normiereung: ja. Eine ONB aus Eigenvektoren der Matrix A.
>
> Und die Funktion f ist selbstadjungiert, da A symmetrisch
> ist.
Ja.
> Oder muss ich hier noch eine Abbildungsmatrix mit der
> ONB basteln und zeigen, dass diese symmetrisch ist?
Nein.
Wobei die Abbildungsmatrix bzgl der ONB Dir eigentlich aus den Fingern springen sollte - also keine echte Hürde ist.
Gruß v. Angela
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Okay ich habe beim Abtippen das wurzelzeichen vergessen. Es ist natürlich die Wurzel aus 26.
Die abbildungsmatrix begzl der ONB ist dann wohl
[mm] $B=SDS^T$
[/mm]
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> Die abbildungsmatrix begzl der ONB ist dann wohl
>
> [mm]B=SDS^T[/mm]
Hallo,
da mir nicht klar ist, was sich hinter den einzelnen Buchstaben verbirgt, ist es schwer zu sagen, ob es richtig ist.
Das, was Du mal als B bezeichnet hattest, ist sie nicht, das war ja die Transformationsmatrix für die Basistransformation von der Eigenbasis zur Standardbasis - ausgehend von der zu dem Zeitpunkt noch falschen Eigenbasis.
Richtig ist:
Die Darstellungsmatrix bzgl. der ONB aus Eigenvektoren ist [mm] D=B^{-1}AB. [/mm] Das ist eine Diagonalmatrix.
Die Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasis, welche ja auch orthonormal ist, ist A.
Gruß v. Angela
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