O = minimal bei V = maximal < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Di 15.05.2007 | | Autor: | moody |
| Aufgabe | | Unser Lehrer hat uns eine Dose gezeigt (Ravioli). Und wir sollen nun ausrechnen welche Maße ideal sind. Inhalt 1l. |
So wir wissen das O also minimal sein muss.
O(r,h) = 2pir² + [mm] 2\pirh
[/mm]
1000cm³ = V = hr²pi
Also einsetzen:
O(r) = 2pir² + [mm] r2\pi*v/hr²
[/mm]
Und dann muss man halt von O die Ableitung gleich 0 setzen und die ganzen Späße.
Und das kriege ich nicht hin.
Kann da jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinen anderen Foren gestellt.
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Hallo moody,
[mm]O_{r,h} = 2*\pi*r^{2}+2*\pi*r*h[/mm]
[mm]V_{r,h} = \pi*r^{2}*h[/mm] [mm]h = \bruch{V}{\pi*r^{2}}[/mm]
Also ist [mm]O_{r} = 2*\pi*r^{2}+2*\pi*r*\bruch{V}{\pi*r^{2}}[/mm]
[mm]O_{r} = 2*\pi*r^{2}+\bruch{2*V}{r}[/mm]
Jetzt ableiten, nach der Potenzregel:
[mm](r^{2})' = 2*r[/mm] und
[mm]\left(\bruch{1}{r}\right)' = (r^{-1})' = - r^{-2} = -\bruch{1}{r^{2}})[/mm]
[mm]O_{r}' = 4*\pi*r - \bruch{2*V}{r^{2}}[/mm]
Wenn Du jetzt die 1. Ableitung = 0 setzt, erhältst Du die Extremwerte der Funktion:
[mm]O_{r}' = 4*\pi*r - \bruch{2*V}{r^{2}} = 0[/mm]
[mm]4*\pi*r = \bruch{2*V}{r^{2}}[/mm]
[mm]r = \wurzel[3]{\bruch{V}{2*\pi}}[/mm] = 5,4193 cm
So, jetzt noch nachschauen, um was für einen Extremwert es sich handelt:
[mm]O_{r}'' = 4*\pi + \bruch{4*V}{r^{3}} > 0[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] r= 5,4193 cm ist ein Minimum.
[mm]h = \bruch{V}{\pi*r^{2}}[/mm] = 10,8385 cm
D. h., bei diesen Maßen ist die Oberfläche minimal, also auch der Materialverbrauch minimal.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Di 15.05.2007 | | Autor: | moody |
Also erstmal danke.
$ [mm] (r^{2})' [/mm] = [mm] 2\cdot{}r [/mm] $ und
$ [mm] \left(\bruch{1}{r}\right)' [/mm] = [mm] (r^{-1})' [/mm] = - [mm] r^{-2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{r^{2}}) [/mm] $
$ [mm] O_{r}' [/mm] = [mm] 4\cdot{}\pi\cdot{}r [/mm] - [mm] \bruch{2\cdot{}V}{r^{2}} [/mm] $
Also das r² ist ja 2 pi r² das verstehe ich.
Ableiten nach Potenzregel? Meinst du [mm] a^n [/mm] = [mm] n*a^n-1 [/mm] ?
Aber woher dein 1/r kommt verstehe ich dann nicht mehr.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Di 15.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
> Also erstmal danke.
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> [mm](r^{2})' = 2\cdot{}r[/mm] und
>
> [mm]\left(\bruch{1}{r}\right)' = (r^{-1})' = - r^{-2} = -\bruch{1}{r^{2}})[/mm]
>
> [mm]O_{r}' = 4\cdot{}\pi\cdot{}r - \bruch{2\cdot{}V}{r^{2}}[/mm]
>
> Also das r² ist ja 2 pi r² das verstehe ich.
>
> Ableiten nach Potenzregel? Meinst du [mm]a^n[/mm] = [mm]n*a^n-1[/mm] ?
Yep.
>
> Aber woher dein 1/r kommt verstehe ich dann nicht mehr.
Es gilt:
$ [mm] O_{r,h} [/mm] = [mm] 2\cdot{}\pi\cdot{}r^{2}+2\cdot{}\pi\cdot{}r\cdot{}h [/mm] $
Und $ [mm] V_{r,h} [/mm] = [mm] \pi\cdot{}r^{2}\cdot{}h [/mm] $
Die Volumenbedingung form mal nach h um
Also ist [mm] h=\bruch{V}{\pi*r²}
[/mm]
Das setzt mal mit in die Oberflächenformel ein.
Also:
[mm] O_{r}=2\cdot{}\pi\cdot{}r^{2}+2\cdot{}\pi\cdot{}r\cdot{}\bruch{V}{\pi*r²}
[/mm]
[mm] =2\pi*r²+\bruch{2V}{r}
[/mm]
[mm] =2\pi*r²+2V*r^{-1}
[/mm]
Und hiervon suchst du das Minimum.
Also brauchst du die Ableitung
[mm] O'(r)=4\pi*r+2V*(-1)*r^{-1-1}=4\pi*r-\bruch{2V}{r²}
[/mm]
Marius
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