Ober-Unterintegral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Fr 22.02.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe eine Frage zu der folgenden verlinkten Seite:
![[]](/images/popup.gif) Lösungsskizze
Ungefähr in der Mitte des ersten Blattes steht, dass das Oberintegral kleiner gleich dem Ausdruck [mm] \bruch{a^{k+1}}{k+1} [/mm] ist. Ich vesrtehe die Sache so, dass dieses Oberintegral gleich dem Infimum des Integrals der Treppenfunktion ( S*_{n}) ist. Und das Infimum von S*_{n} ist gleich [mm] \bruch{a^{k+1}}{k+1}. [/mm]
Meine Frage ist: warum steht da noch das Zeichen "kleiner", denn meiner Ansicht nach ist es genau gleich (ich kann mich natürlich auch irren)?
Im Prinzip ist es nicht falsch kleiner oder gleich zu schreiben, jedoch was ist der Sinn von dieser Schreibweise?
Gruss
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Fr 22.02.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
auf der selben Seite: Link-Text
das Blatt 2 Aufgabe 1b (ganz oben) ist das Ergebnis der Summe falsch. Es muss [mm] a^{-\bruch{1}{n}}*(a^{\bruch{1}{n}}-1)n [/mm] sein und nicht wie es dort steht.
Stimmt das?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Fr 22.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja! Druckfehler
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 So 24.02.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
da dieser Druckfehler in der Lösungsskizze eingeschlichen ist, müßte unten dann folgendes stehen:
lim [mm] \bruch{a^{-\bruch{1}{n}}(
a^{\bruch{1}{n}}-1)}{\bruch{1}{n}}.
[/mm]
In der Lösungsskizze wurde dann n in x "umgewandelt", was ich relativ nachvollziehen konnte( da es dasselbe ist, ob x geht gegen Null geht oder 1/n gegen Null geht für n gegen unendlich...)
Wie kommt man dann auf ln(a)? Wie wird es hergeleitet? Aus welcher Eigenschaft des Logarithmus?
Viele Grüße
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Di 26.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Igor!
Hier wurde wohl  de l'Hospital angewandt, da wir für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ den Fall [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] vorliegen haben.
Dazu muss man wissen, dass gilt: [mm] $\left( \ a^x \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] \ln(a)*a^x$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Fr 22.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
an der Stelle des Skripts ist von inf oder sup nicht die Rede.
es ist nur gesagt, dass das [mm] Integral\le S_n^*\le a_{k+1}/(k+1) [/mm] ist.
da ist doch noch gar kein Grenzübergang!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Fr 22.02.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
[mm] S^{\*}_{n} [/mm] ist nicht kleiner gleich [mm] a^{k+1}/(k+1), [/mm] denn wenn ich die Klammer ausmultipliziere bekomme ich [mm] S^{\*}_{n}= a^{k+1}/(k+1)+...+...a^{k+1}*\bruch{q_{1}}{n^{k}}. [/mm]
Irgendwie verstehe ich das nicht ganz.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Fr 22.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo,
>
> [mm]S^{\*}_{n}[/mm] ist nicht kleiner gleich [mm]a^{k+1}/(k+1),[/mm] denn
> wenn ich die Klammer ausmultipliziere bekomme ich
> [mm]S^{\*}_{n}= a^{k+1}/(k+1)+...+...a^{k+1}*\bruch{q_{1}}{n^{k}}.[/mm]
richtig, und wenn du jetzt alle Summanden bis auf den ersten weglässt? dann vergrößerst du doch!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Fr 22.02.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
wenn ich alle Summanden weglasse und nur den ersten [mm] a^{k+1}/(k+1) [/mm] behalte? dann habe ich [mm] S^{\*}_{n}= a^{k+1} [/mm] \ (k+1) und das ergibt die Gleichheit und nicht kleiner gleich.
Was meinst Du eigentlich mit Summandenweglassen ? Wofür?
Zusammengefasst: [mm] S^{\*}_{n}= a^{k+1}/(k+1)+...+...a^{k+1}*\bruch{q_{1}}{n^{k}} [/mm] >(!) [mm] a^{k+1}/(k+1).
[/mm]
P.S: Wenn ich etwas Positives weglasse, dann verkleinere ich. Es sei denn, q wäre negativ. Vielleicht meinst Du das ?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Fr 22.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry, ich hab im tran das kleinerzeichen verkehrt gelesen. Ich stell deine Frage auf unbeantwortet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 Sa 23.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ungefähr in der Mitte des ersten Blattes steht, dass das
> Oberintegral kleiner gleich dem Ausdruck
> [mm]\bruch{a^{k+1}}{k+1}[/mm] ist. Ich vesrtehe die Sache so, dass
> dieses Oberintegral gleich dem Infimum des Integrals der
> Treppenfunktion ( $S*_{n}$) ist. Und das Infimum von $S*_{n} $
> ist gleich [mm]\bruch{a^{k+1}}{k+1}.[/mm]
>
> Meine Frage ist: warum steht da noch das Zeichen "kleiner",
> denn meiner Ansicht nach ist es genau gleich (ich kann mich
> natürlich auch irren)?
[mm] $S^\ast_n$ [/mm] ist das Integral über die Treppenfunktion [mm] $\psi_n(x)$. [/mm] Da [mm] $x^k\le \psi_n(x)$ [/mm] für alle n ist, gilt auch
$ [mm] \integral\nolimits_0^{\ast a} x^k \le \integral\nolimits_0^{\ast a} \psi_n(x) [/mm] = [mm] S^\ast_n$ [/mm] für alle n.
Im Grenzübergang [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] folgt
$ [mm] \integral\nolimits_0^{\ast a} x^k \le \bruch{a^{k+1}}{k-1}$
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
>
> [mm]S^\ast_n[/mm] ist das Integral über die Treppenfunktion
> [mm]\psi_n(x)[/mm]. Da [mm]x^k\le \psi_n(x)[/mm] für alle n ist, gilt auch
>
> [mm]\integral\nolimits_0^{\ast a} x^k \le \integral\nolimits_0^{\ast a} \psi_n(x) = S^\ast_n[/mm]
> für alle n.
Ich kann hier nicht zustimmen (kann sein, dass ich falsch liege). In der Tat gilt die Beziehung aus der Konstruktion der beiden Funktionen f [mm] \le \psi [/mm] . Die dazugehörigen Integrale sind, meiner Ansicht nach, die anderen.
Beim ersten Integral müßte der Stern weg, da er den Oberintegral bezeichnet. Es sei denn, der Oberintegral und der Integral ohne Stern dasselbe sind (Warum dann?). Ohne den Stern würde die Situation sich ändern.
Wie siehst Du das ?
Viele Grüße
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Sa 23.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Igor!
> Hallo,
>
>
> >
> > [mm]S^\ast_n[/mm] ist das Integral über die Treppenfunktion
> > [mm]\psi_n(x)[/mm]. Da [mm]x^k\le \psi_n(x)[/mm] für alle n ist, gilt auch
> >
> > [mm]\integral\nolimits_0^{\ast a} x^k \le \integral\nolimits_0^{\ast a} \psi_n(x) = S^\ast_n[/mm]
> > für alle n.
> Ich kann hier nicht zustimmen (kann sein, dass ich falsch
> liege). In der Tat gilt die Beziehung aus der Konstruktion
> der beiden Funktionen f [mm]\le \psi[/mm] . Die dazugehörigen
> Integrale sind, meiner Ansicht nach, die anderen.
> Beim ersten Integral müßte der Stern weg, da er den
> Oberintegral bezeichnet. Es sei denn, der Oberintegral und
> der Integral ohne Stern dasselbe sind (Warum dann?). Ohne
> den Stern würde die Situation sich ändern.
Ich verstehe deine Aussage nicht. Sagst du: wenn [mm] $f\le [/mm] g$, dann kann es sein, dass
$ [mm] \integral\nolimits_0^{\ast a} [/mm] f(x) > [mm] \integral\nolimits_0^{\ast a} [/mm] g(x) $
gilt?
Das wäre nämlich falsch. Es gilt:
$ [mm] \integral\nolimits_0^{\ast a} [/mm] f(x) [mm] \le \integral\nolimits_0^{\ast a} [/mm] g(x) $ ,
weil zu einer gegebenen Zerlegung für die zugehörigen Obersummen von f und g dieselbe Ungleichung gilt wie für f und g selbst. Damit führt die Behauptung
$ [mm] \integral\nolimits_0^{\ast a} [/mm] f(x) > [mm] \integral\nolimits_0^{\ast a} [/mm] g(x) $
als Aussage über das Infimum der Obersummen über alle Zerlegungen zu einem Widerspruch.
Also ist
$ [mm] \integral\nolimits_0^{\ast a} [/mm] f(x) [mm] \le \integral\nolimits_0^{\ast a} [/mm] g(x) $ ,
und genau das habe ich benutzt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Rainer,
>
> Ich verstehe deine Aussage nicht. Sagst du: wenn [mm]f\le g[/mm],
> dann kann es sein, dass
>
> [mm]\integral\nolimits_0^{\ast a} f(x) > \integral\nolimits_0^{\ast a} g(x)[/mm]
>
> gilt?
Ich habe eigentlich nicht gemeint, dass dann die Relation sich ändert. Ich habe nur gemeint, dass ich den Schritt von der Relation der Funktionen zu der Relation der Integrale nicht nachvollziehen konnte (Ich weiss halt nur, dass wenn f<g ist dann auch Intf < Intg sein muss. In unserem Fall haben wir f<g , jedoch dann steht etwas anderes , nämlich: OberIntf < OberIntg .
Im Großen und Ganzen hatte ich ein "kleines" Bedenken , dass das auch für die Ober-Integrale gilt. D.h ich habe den Satz über die Relationen im Buch geschaut und konnte mich nicht sofort auf die Ober-Integrale umstellen. 
Jetzt würde ich den Satz im Buch ein bißchen "umschreiben":
f<g folgt IntSternf < IntSterng.
Wenn das stimmt, dann bin ich einverstanden .
Danke schön und viele Grüße
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 So 24.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
nimm doch bitte den Formeleditor, damit man deine Eingaben leichter lesen kann.
> Hallo Rainer,
>
> >
> > Ich verstehe deine Aussage nicht. Sagst du: wenn [mm]f\le g[/mm],
> > dann kann es sein, dass
> >
> > [mm]\integral\nolimits_0^{\ast a} f(x) > \integral\nolimits_0^{\ast a} g(x)[/mm]
> >
> > gilt?
>
> Ich habe eigentlich nicht gemeint, dass dann die Relation
> sich ändert. Ich habe nur gemeint, dass ich den Schritt von
> der Relation der Funktionen zu der Relation der Integrale
> nicht nachvollziehen konnte (Ich weiss halt nur, dass wenn
> f<g ist dann auch Intf < Intg sein muss. In unserem Fall
> haben wir f<g , jedoch dann steht etwas anderes , nämlich:
> OberIntf < OberIntg .
>
> Im Großen und Ganzen hatte ich ein "kleines" Bedenken ,
> dass das auch für die Ober-Integrale gilt. D.h ich habe den
> Satz über die Relationen im Buch geschaut und konnte mich
> nicht sofort auf die Ober-Integrale umstellen.
> Jetzt würde ich den Satz im Buch ein bißchen
> "umschreiben":
>
> f<g folgt IntSternf < IntSterng.
>
> Wenn das stimmt, dann bin ich einverstanden .
Nicht ganz: aus $f<g$ oder [mm] $f\le [/mm] g$ folgt [mm] $\integral\nolimits_0^{\ast a} [/mm] f [mm] \red{\le} \integral\nolimits_0^{\ast a} [/mm] g $.
Es gibt doch für eine beliebige Zerlegung Z: wenn [mm] $f\le [/mm] g$, dann gilt die entsprechende Ungleichung für die zugehörigen Obersummen: [mm] $S_Z(f)\le S_Z(g)$.
[/mm]
Das Oberintegral ist das Infimum über alle Zerlegungen, daher gilt die Ungleichung auch für die Oberintegrale. Das kannst du zum Beispiel durch einen Widerspruchsbeweis sehen: Angenommen,
[mm] $\integral\nolimits_0^{\ast a} [/mm] f [mm] \red{>} \integral\nolimits_0^{\ast a} [/mm] g $.
Dann gibt es eine Zerlegung [mm] $Z_1$, [/mm] sodass [mm] $S_{Z_1}(g) [/mm] < [mm] \integral\nolimits_0^{\ast a} [/mm] f $. Nach Voraussetzung ist aber
[mm] $S_{Z_1}(f)\le S_{Z_1}(g) [/mm] < [mm] \integral\nolimits_0^{\ast a} [/mm] f $,
und dass ist ein Widerspruch dazu, dass [mm] $\integral\nolimits_0^{\ast a} [/mm] f $ das Infimum über alle Obersummen von f ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 So 24.02.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Rainer,
ja, sorry, habe kleiner gleich gemeint.
Viele Grüße
Igor
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