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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Do 23.04.2015 | | Autor: | tdodo |
| Aufgabe | | Zeige, dass 2 eine obere Schranke von $ A [mm] =\left\{ \left( 1+\frac { 1 }{ 2x } \right)^X | X\epsilon \mathbb{N} \right\} [/mm] $ ist. |
Wie gehe ich hier am besten vor?
Ich müsste beweisen, dass keine Zahl y < 2 eine obere Schranke von A sein kann: Hierzu nehme ich ein beliebiges $ y [mm] \epsilon [/mm] A$ mit $ y < 2 $. Jetzt muss ich zeigen, dass es für dieses $ y $ ein $x [mm] \in [/mm] A$ mit $x > y$ gibt.
Soweit richtig? Leider weiß ich jetzt nicht weiter! Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Do 23.04.2015 | | Autor: | abakus |
Hallo,
zeige, dass die Folge zwar monoton wachsend ist,
aber alle Folgenglieder kleiner sind als die Glieder von der unter 2 fallenden Folge
[mm](1 + 1 / (2x))^{x + 1}[/mm].
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Do 23.04.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo tdodo!
> Zeige, dass 2 eine obere Schranke von [mm]A =\left\{ \left( 1+\frac { 1 }{ 2x } \right)^X | X\epsilon \mathbb{N} \right\}[/mm]
> ist.
>
> Wie gehe ich hier am besten vor?
>
> Ich müsste beweisen, dass keine Zahl y < 2 eine obere
> Schranke von A sein kann:
Nein, zu zeigen ist nicht, dass es keine kleinere obere Schranke von A als 2 gibt, sondern dass 2 eine obere Schranke von A ist.
Zu zeigen ist also: Für alle [mm] $a\in [/mm] A$ ist [mm] $a\le [/mm] 2$.
> Hierzu nehme ich ein beliebiges [mm]y \epsilon A[/mm]
> mit [mm]y < 2 [/mm].
Folgerichtig müsste es hier [mm] $y\in\IR$ [/mm] statt [mm] $y\in [/mm] A$ heißen.
> Jetzt muss ich zeigen, dass es für dieses [mm]y[/mm]
> ein [mm]x \in A[/mm] mit [mm]x > y[/mm] gibt.
Folgerichtig.
(Damit wäre dann gezeigt, dass $y$ keine obere Schranke von A ist.)
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Do 23.04.2015 | | Autor: | tdodo |
Ich finde leider zu beiden Antworten keinen konkreten Lösungsansatz. Außerdem weiß ich nicht, wie ich mit der Potenz $^n$ umgehen soll. Könnt ihr mir einen weiteren Tipp in die richtige Richtung geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Do 23.04.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Ich finde leider zu beiden Antworten keinen konkreten
> Lösungsansatz. Außerdem weiß ich nicht, wie ich mit der
> Potenz [mm]^n[/mm] umgehen soll. Könnt ihr mir einen weiteren Tipp
> in die richtige Richtung geben?
Zu zeigen ist (für jedes [mm] $x\in\IN$):
[/mm]
[mm] $(1+\frac{1}{2x})^x\le [/mm] 2$
Ich bin mithilfe des binomischen Lehrsatzes zum Ziel gekommen.
Ich weiß nicht, ob es auch einfacher geht, daher lasse ich die Frage mal als nur teilweise beantwortet markiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Do 23.04.2015 | | Autor: | tdodo |
> > Ich finde leider zu beiden Antworten keinen konkreten
> > Lösungsansatz. Außerdem weiß ich nicht, wie ich mit der
> > Potenz [mm]^n[/mm] umgehen soll. Könnt ihr mir einen weiteren Tipp
> > in die richtige Richtung geben?
> Zu zeigen ist (für jedes [mm]x\in\IN[/mm]):
>
> [mm](1+\frac{1}{2x})^x\le 2[/mm]Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Ich bin mithilfe des binomischen Lehrsatzes zum Ziel
> gekommen.
>
Aber wie geht's denn dann weiter?
$\sum _{ k=0 }^{ x } \begin{ \vektor{x \\ k} { 1 }^{ x-k }\ast { \frac { 1 }{ 2x } }^{ k }\le 2$
Das sieht ja nur noch schlimmer aus! :-D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Do 23.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Ich finde leider zu beiden Antworten keinen konkreten
> > > Lösungsansatz. Außerdem weiß ich nicht, wie ich mit der
> > > Potenz [mm]^n[/mm] umgehen soll. Könnt ihr mir einen weiteren Tipp
> > > in die richtige Richtung geben?
> > Zu zeigen ist (für jedes [mm]x\in\IN[/mm]):
> >
> > [mm](1+\frac{1}{2x})^x\le 2[/mm]
> >
> > Ich bin mithilfe des binomischen Lehrsatzes zum Ziel
> > gekommen.
> >
>
> Aber wie geht's denn dann weiter?
>
> [mm]\sum _{ k=0 }^{ x } \begin{ \vektor{x \\ k} { 1 }^{ x-k }\ast { \frac { 1 }{ 2x } }^{ k }\le 2[/mm]
>
> Das sieht ja nur noch schlimmer aus! :-D
das kannst Du schreiben als (ich schreibe mal lieber n statt x)
[mm] $\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] \frac{1}{(2n)^k}$ [/mm]
Im Beweis zu ![[]](/images/popup.gif) Satz 7.4 findest Du eine Abschätzung, mit der wir hier
${n [mm] \choose k}\frac{1}{2^k n^k} \;\le\;\frac{1}{2^k}*\frac{1}{k!}$
[/mm]
erhalten, und damit folgt für Deine Summe
[mm] $\sum ...\;\le\; \sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k}*\frac{1}{k!}\;\le\; \sum_{k=0}^n \left(\frac{1}{2}\right)^k\;=\;\frac{1-(1/2)^{n+1}}{1-1/2}$
[/mm]
Nebenbei: Bekanntlich gilt
[mm] $(1+\tfrac{1}{2n})^n=\sqrt{(1+\tfrac{1}{2n})^{2n}}$,
[/mm]
so dass man mit dem Wissen, dass [mm] $(1+1/n)^n \to [/mm] e$ - und zwar monoton wachsend(!) - gilt,
sofort sieht, dass
[mm] $(1+\tfrac{1}{2n})^n \le \sqrt{e}$
[/mm]
für alle [mm] $n\,$ [/mm] (man kann sogar [mm] $<\,$ [/mm] schreiben). Wegen $e < 3 < 4$ ist [mm] $\sqrt{e} [/mm] < [mm] \sqrt{4}=2\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Do 23.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich finde leider zu beiden Antworten keinen konkreten
> Lösungsansatz. Außerdem weiß ich nicht, wie ich mit der
> Potenz [mm]^n[/mm] umgehen soll. Könnt ihr mir einen weiteren Tipp
> in die richtige Richtung geben?
schau' mal in den Beweis zu
Beispiel 5.13
Dort steht auch drin, dass der Beweis dazu, dass [mm] $(1+1/n)^{n+1}$ [/mm] in monoton fallender
Weise (gegen [mm] $e\,$) [/mm] ist, selbst (analog) geführt werden soll.
Ob [mm] $((1+1/(2n))^{n+1})$ [/mm] wirklich monoton fällt, habe ich mir gerade nicht überlegt.
Aber man erkennt mit dem Wissen aus dem Skript, dass
[mm] $\left((1+1/(2n))^{2n+1}\right)$ [/mm]
gegen [mm] $e\,$ [/mm] fällt. Nun gilt
[mm] $(1+\tfrac{1}{2n})^n \le \sqrt{(1+\tfrac{1}{2n})^{2n+1}}=\sqrt{(1+\tfrac{1}{2n})^{2n}}*\sqrt{1\,+\;\frac{1}{2n}}$
[/mm]
Weil $e < 3$ ist (das kann man auch elementar mit dem Wissen aus dem Skript
folgern!), ist
[mm] $(1+\tfrac{1}{2n})^n\;\le\;\sqrt{3}*\sqrt{1+1/(2n)}$
[/mm]
Für [mm] $n=2\,$ [/mm] ist schon [mm] $\sqrt{3}*\sqrt{1+1/4}< 2\,.$ [/mm] Ist klar, wie man nun weiter
argumentiert? (Für größere [mm] $n\,$ [/mm] beachte, dass [mm] $(\sqrt{1+1/(2n)})$ [/mm] monoton fällt.
Den Fall [mm] $n=1\,$ [/mm] kannst Du noch separat nachbehandeln!)
Gruß,
Marcel
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