Oberfläche definieren < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Do 08.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo allerseits
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich muss die Oberfläche dieses Körpers definieren. Wenn das Gefäss randvoll mit Wasser gefüllt ist, ist die Oberfläche natürlich 3*2 = 6m2. Jedoch beim Abfluss stimmt das natürlich nicht mehr, da die Oebrfläche bei jedem neuen Wasserspiegelstand anderst ist. Kann ich irgendwie ein Integral bilden, doch wie?
Bisher habe ich nur mit Rechteckigen Behältern gerechnet, wo ich natürlich auf diese Schwierigkeit nicht getroffen bin.
oder die Oberfläche ist schon integrierbar? Anderfalls würde ich in diskreten Schritten vorgehen.
Hier die Skizze:
Danke für die Hilfe
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Do 08.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hier möchte ich nun noch die ganze Rechnung stellen, die ich lösen sollte.
T = [mm] \bruch{1}{4.51*10^{-4}*\wurzel{2}*g} [/mm] * [mm] \integral_{3}^{4}{\bruch{O(z) dz}{\wurzel{z}}}
[/mm]
Wobei es wie bereits angefragt bei O(z) um die Oberfläche handelt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:14 Do 08.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Guten Abend
Muss ich überhaupt ein Integral setzen, da die Oberfläche auf Null hinaus läuft?
Also ich habe es mal Stückenweise probiert.
Ich habe mal die Rechnung in 0.2m Abstandsschritten ausgeführt (von oben nach unten)
Allgemeine Formel:
[mm] \integral_{3}^{4}{\bruch{O(z) dz}{\wurzel{z}}}
[/mm]
Wenn Behälter bis zum Rande gefüllt ist:
T = [mm] \bruch{1}{4.51\cdot{}10^{-4}\cdot{}\wurzel{2}\cdot{}g}*\integral_{3}^{4}{\bruch{6 dz}{\wurzel{z}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4.51\cdot{}10^{-4}\cdot{}\wurzel{2}\cdot{}g}*12*(\wurzel{z}) \integral_{3}^{4} [/mm] (Ich finde das richtige Zeichen nicht) = 1609.56s
Wenn ich nun die Rechnung bei einer Höhe von 0.6 löse, erhalte ich: 1287.65s
bei 0.6m: 965.74s
bei 0.4m: 643.82s
bei 0.2m: 321.91s
Doch irgendwie kann da was nicht stimmen, denn:
1287.65s - 965.74s = 321.9s
965.74s - 643.82s = 321.9s
.........
Doch es kann gar nicht sein, dass die Zeit immer gleich gross ist. Nach der Logik, sollte die Zeit beim absenkend es Spiegels zwischen den einzelnen "Stückchen" grösser werden
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Do 08.07.2010 | | Autor: | chrisno |
Willst Du wirklich nur O(z) wissen? Ich vermute, dass Deine Angaben ...s Zeiten in Sekunden sein sollen. Kann es sein, dass Du O(t) bei irgendwelchen Zusatzbedingungen für den Abfluss wissen willst? Dann könnte auch das g einen Sinn machen.
Eine spannende Frage, weil wir bisher noch nicht herausgefunden haben, wie sie lautet.
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> Willst Du wirklich nur O(z) wissen? Ich vermute, dass Deine
> Angaben ...s Zeiten in Sekunden sein sollen. Kann es sein,
> dass Du O(t) bei irgendwelchen Zusatzbedingungen für den
> Abfluss wissen willst? Dann könnte auch das g einen Sinn
> machen.
> Eine spannende Frage, weil wir bisher noch nicht
> herausgefunden haben, wie sie lautet.
Ich glaube schon, der Spur nach verstanden zu haben,
um was es wirklich geht. Da ist ein prismaförmiger Trog
voll Wasser, das man über eine Leitung nach unten abfließen
lässt.
Die Frage ist wahrscheinlich, welche Energie aus diesem
Wasserabfluss auf dem Niveau 3 Meter unterhalb der unteren
Trogkante theoretisch (also ohne jegliche Reibungsverluste)
zu gewinnen wäre.
Es wäre aber nett von unseren "Kunden", wenn sie ihre
zu lösenden Aufgaben von Anfang an im kompletten Wort-
laut mitteilen würden - außer es handelt sich um ein Detail-
problem, das man ganz gut unabhängig vom Gesamtzu-
sammenhang diskutieren kann.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Do 08.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hall und guten Abend
Ich habe bewusst nur ein Teil der Aufgabenstellung eingestellt, da mein Hauptproblem ein mathematisches ist, während die gesamte Aufgabenstellung im Bereich Hydromechanik/Fluide richtig platziert wäre.
Hier die komplette Aufgabenstellung:
Der skizzierte Behälter ist randvoll mit Wasser gefüllt. Der Behälter weist am Boden eine vertikale Rohrleitung von 3m Länge auf, durch welche der Behälter entleert werden kann. Der Abfluss wird über einen Schieber, der in der Rohrleitung angeordnet ist reguliert.
Wie lange dauert es, bis der Behälter leergelaufen ist, wenn der Schieber gerade soweit geöffnet wird, dass anfänglich genau 4 l/s Wasser ausfliessen.
Im ersten Schritt habe ich mit Torcelli die Anfangsausflussgeschwindigkeit berechnet
v = [mm] \wurzel{2*g*h} [/mm] = [mm] \wurzel{2*g*4} [/mm] = 8.86m/s
Da der Ausfluss 4l/s gegeben ist, kann ich nun die Fläche des Auflussquerschnittes bestimmen: [mm] A_{A} [/mm] = 4.51 * [mm] 10^4 [/mm] m2
Nun gibt es nach meinem Skript für die Absenkzeit der instationärer Strömung folgende Formel.
T(Absenkzeit) = [mm] \bruch{1}{A_{A} *\wurzel{2g}} [/mm] * [mm] \integral_{z_{o}}^{z_{1}}{\bruch{O (z) dz}{\wurzel{z}}}
[/mm]
wobei in diesem Fall die Integralgrenzen [mm] z_{1} [/mm] = 4, [mm] z_{0} [/mm] = 3 betragen.
Ich hoffe, dass ihr mir durch die genaue Aufgabenstellung spezifischer helfen könnt.
Und dann habe ich für O(z) (siehe anderer Post) das folgende Integral erstellt:
O(z) = 3* [mm] \integral_{3}^{4}{-6+2z} [/mm] = 3*((-6*4 + 16)-(-6*3 + 9)) = 3
Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:36 Fr 09.07.2010 | | Autor: | chrisno |
> Ich habe bewusst nur ein Teil der Aufgabenstellung
> eingestellt, da mein Hauptproblem ein mathematisches ist,
> während die gesamte Aufgabenstellung im Bereich
> Hydromechanik/Fluide richtig platziert wäre.
Beim nächsten mal machst Du uns es bitte etwas leichter
>
> ....
> T(Absenkzeit) = [mm]\bruch{1}{A_{A} *\wurzel{2g}}[/mm] *
> [mm]\integral_{z_{o}}^{z_{1}}{\bruch{O (z) dz}{\wurzel{z}}}[/mm]
>
> ...
> Und dann habe ich für O(z) (siehe anderer Post) das
> folgende Integral erstellt:
> O(z) = 3* [mm]\integral_{3}^{4}{-6+2z}[/mm] = 3*((-6*4 + 16)-(-6*3
> + 9)) = 3
>
Das kann nicht stimmen. O hängt nun nicht mehr von z ab. (Außerdem kommt etwas anderes bei dem Integral heraus, aber das interessiert im Moment nicht.)
$O(4m) = 6 [mm] m^2$, [/mm] $O(3m) = 0 [mm] m^2$. [/mm] Dazwischen nimmt O linear mit z ab. Das ist eine Geradengeichung in der Form $O(z) = m [mm] \cdot [/mm] z + n$. Die Einheiten lasse ich nun weg. Das n bekommst Du sofort aus O(3). Damit kannst Du auch das m ausrechnen. Dann hast Du die Formel für O(z), die Du in das Integral für die Absenkzeit einsetzt. Danach erst kannst Du integrieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Chrisno
Danke für die Hinweise
O(z) = [mm] \integral_{3}^{4}{6z - 18}
[/mm]
Aber dieses Integral kann ich doch schon vorgängig auflösen?
[mm] \bruch{1}{A_{A} \cdot{}\wurzel{2g}} [/mm] * [mm] \integral_{z_{o}}^{z_{1}}{\bruch{\integral_{3}^{4}{6z - 18} dz}{\wurzel{z}}}
[/mm]
Aber dieses Integral kann ich doch schon vorgängig auflösen?
O(z) = [mm] \integral_{3}^{4}{6z - 18} [/mm] = 3. das hatte ich ja schon vorher?
Danke für die UNterstützung
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> Hallo Chrisno
>
> Danke für die Hinweise
>
> O(z) = [mm]\integral_{3}^{4}{6z - 18}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Aber dieses Integral kann ich doch schon vorgängig
> auflösen?
>
>
> [mm]\bruch{1}{A_{A} \cdot{}\wurzel{2g}}[/mm] *
> [mm]\integral_{z_{o}}^{z_{1}}{\bruch{\integral_{3}^{4}{6z - 18} dz}{\wurzel{z}}}[/mm]
>
>
> Aber dieses Integral kann ich doch schon vorgängig
> auflösen?
> O(z) = [mm]\integral_{3}^{4}{6z - 18}[/mm] = 3. das hatte ich ja
> schon vorher?
Neeein !
O(z) ist doch eben wirklich von z abhängig !
O(3)=0
O(4)=6
O(z) linear in z
also O(z)=6*z-18
fertig - für O(z) selbst ist keine weitere Integration notwendig,
aber dieses Ergebnis musst du dann in das andere Integral
einsetzen !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Al
Möchte mich entschuldigen für mein "schweres verständnis". Aber dank deiner Hilfe komme ich nun auf das gewünschte Resultat
Danke
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prima !
und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 Do 08.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kuriger!
Ich habe arge Zweifel, dass diese Frage mit den Mitteln der Schulklassen 8-10 zu lösen ist.
Bitte achte in Zukunft auch darauf, dass Deine Fragen im richtigen (oder zumindest einem plausibleren) Unterforum landet.
Gruß
Loddar
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> Hallo allerseits
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Ich muss die Oberfläche dieses Körpers definieren. Wenn
> das Gefäss randvoll mit Wasser gefüllt ist, ist die
> Oberfläche natürlich 3*2 = 6m2. Jedoch beim Abfluss
> stimmt das natürlich nicht mehr, da die Oebrfläche bei
> jedem neuen Wasserspiegelstand anderst ist. Kann ich
> irgendwie ein Integral bilden, doch wie?
> Bisher habe ich nur mit Rechteckigen Behältern gerechnet,
> wo ich natürlich auf diese Schwierigkeit nicht getroffen
> bin.
> oder die Oberfläche ist schon integrierbar? Anderfalls
> würde ich in diskreten Schritten vorgehen.
Hallo Kuriger,
mit O(z) meinst du offenbar nicht die "Oberfläche" eines
dreidimensionalen Körpers, sondern den Flächeninhalt
der rechteckigen Wasseroberfläche in dem Prisma-förmigen
Trog für den Fall, dass der Wasserpegel bei z liegt (z=4 bei
ganz gefülltem Trog, z=3 bei geleertem Trog). Da die Länge
des Trogs (3 m) konstant ist, hängt O(z) nur noch von der
Breite b(z) des Wasseroberflächen-Rechtecks ab. Diese Breite
lässt sich leicht als lineare Funktion von z schreiben. Es
muss ja b(4)=2 und b(3)=0 sein.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Do 08.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Al
mit O(z) ist die Wasseroberfläche gemeint
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> Hallo Al
>
> mit O(z) ist die Wasseroberfläche gemeint
Ja, das habe ich auch verstanden. Jetzt kannst du dir
anhand einer einfachen Zeichnung überlegen, wie breit
diese Wasseroberfläche zum Beispiel dann ist, wenn
diese zum Beispiel noch 0.4 Meter über dem Grund
des Troges steht (dies entspräche dann dem Wert
z=3+0.4=3.4)
LG
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:39 Do 08.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Al
Leider habe ich bei diesem Post eind durcheinander gemacht.
Ich sollte die Oberfäche (oder Fläche) wie folgt definieren können:
O(z) = [mm] 3*\integral_{3}^{4}{(-6+2z)}. [/mm] Die tiefe ist ja mit 3m konstant, also kann ich dies einfach vor das INtegral nehmen....Oder?
Das heisst meine Rechnung würde wie foglt lauten:
[mm] \bruch{1}{4.51\cdot{}10^{-4}\cdot{}\wurzel{2}\cdot{}g} [/mm] * [mm] \integral_{3}^{4}\bruch{ 3*\integral_{3}^{4}{(-6+2z) dz}}{\wurzel{z}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4.51\cdot{}10^{-4}\cdot{}\wurzel{2}\cdot{}g} [/mm] * [mm] \integral_{3}^{4}\bruch{ \integral_{3}^{4}{(-6+2z) dz}}{\wurzel{z}} [/mm] = 6438.2 s
Stimmt das so? Wirklich glauben mag ich nicht...
Korrektur im nenner sollte auch das g unter der Wurzel stehen, also [mm] \wurzel{2g} [/mm] jedoch habe ich Schwierigkeiten beim anpassen
Danke für die Hilfe
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Hallo, plötzlich steht bei dir "g", was ist das, wenn du die Fläche vom Wasser berechnen willst, ein Rechteck, also Länge (3m) mal Breite b, die Breite ist abhängig vom Füllstand im Trog, nenne ich h, der Füllstand ist die Höhe eines gleichschenkligen/rechtwinkligen Dreiecks, b(h)=2h, der Trog kann maximal in einer Höhe von 1m befüllt werden, irgendwie steckt hinter der Aufgabe mehr, was aber die Aufgabenstellung nicht hergibt?? stelle mal bitte den vollständigen Wortlaut rein, ich stelle mal auf teilweise beantwortet, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Do 08.07.2010 | | Autor: | abakus |
Hallo,
ich habe mal den kompletten Thread durchgelesen. Wir haben ja leider sehr häufig den Fall, dass es sich um eine komplexe Aufgabenstellung handelt, die Fragesteller aber nur ein winziges Detail davon preisgeben.
Auch eine vernünftige Fragestellung im Forum will eben gelernt sein.
Hier meine Vermutung:
Unserem jungen Freund geht es nicht um die Abhängigkeit der Fläche von der momentanen Füllhöhe, sondern um die Fläche in Abhängigkeit von der ZEIT. (Am Anfang ist wegen des hohen Wasserstands der Druck am Boden groß und demzufolge die Ausflussgeschwindigkeit hoch; später fließt es nur noch gemächlich ab.
Gruß Abakus
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