Oberfläche eines Paraboloids < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Do 19.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Oberflächeninhalt desjenigen Teils des Paraboloids [mm] z=x^{2}+y^{2}, [/mm] der zwischen den Ebenen z=0 und z=4 liegt. |
Hallo Matheraum,
bezüglich dieser Aufgabe würde ich gerne wissen, wie man hier auf rechnerischem Wege den Parameterbereich [mm] K:=(x,y)\in\IR^{2}:x^{2}+y^{2}\le2 [/mm] ermitteln kann.
Gruß, Marcel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Do 19.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie den Oberflächeninhalt desjenigen Teils des
> Paraboloids [mm]z=x^{2}+y^{2},[/mm] der zwischen den Ebenen z=0 und
> z=4 liegt.
> Hallo Matheraum,
>
>
> bezüglich dieser Aufgabe würde ich gerne wissen, wie man
> hier auf rechnerischem Wege den Parameterbereich
> [mm]K:=(x,y)\in\IR^{2}:x^{2}+y^{2}\le2[/mm] ermitteln kann.
???? [mm] \le [/mm] 2 ??
Du hast doch die Fläche in explititer Darstellung
$f(x,y) = [mm] x^2+y^2$
[/mm]
mit (x,y) [mm] \in [/mm] K:= { [mm] (x,y)\in\IR^{2}:x^{2}+y^{2}\le [/mm] 4 }
Was ist jetzt Deine Frage ?
FRED
>
>
>
>
>
> Gruß, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Do 19.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo fred97,
das habe ich mir auch gedacht. In der Musterlösung steht jedoch für den Parameterbereich
[mm] K:=(x,y)\in\IR^{2}:x^{2}+y^{2}\le2
[/mm]
Ich würde gerne wissen, wie man darauf kommt, bzw. wie man auf die 2 kommt.
Gruß, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Do 19.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo fred97,
>
>
> das habe ich mir auch gedacht. In der Musterlösung steht
> jedoch für den Parameterbereich
>
>
> [mm]K:=(x,y)\in\IR^{2}:x^{2}+y^{2}\le2[/mm]
>
>
>
> Ich würde gerne wissen, wie man darauf kommt, bzw. wie man
> auf die 2 kommt.
>
>
>
>
>
> Gruß, Marcel
Hallo,
z liegt doch zwischen 0 und 4.
Die Gleichung [mm] 4=x^2+y^2 [/mm] beschreib doch einen Kreis mit dem Radius 2.
(Kreisgleichung [mm] x^2+y^2=r^2).
[/mm]
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
> Berechnen Sie den Oberflächeninhalt desjenigen Teils des
> Paraboloids [mm]z=x^{2}+y^{2},[/mm] der zwischen den Ebenen z=0 und
> z=4 liegt.
> bezüglich dieser Aufgabe würde ich gerne wissen, wie man
> hier auf rechnerischem Wege den Parameterbereich
> [mm]K:=(x,y)\in\IR^{2}:\quad x^{2}+y^{2}\le2[/mm] ermitteln kann.
Das sollte wohl heißen: [mm] x^2+y^2\le [/mm] 4 !
Hallo Marcel,
du hast verschiedene Möglichkeiten, vorzugehen:
1.) x-y-Koordinaten:
dann geht z.B. die äussere Integration (über x) von -2 bis +2
und die innere (über y) von [mm] y=-\wurzel{....} [/mm] bis [mm] y=+\wurzel{....} [/mm]
2.) Polarkoordinaten:
r von 0 bis [mm] r_{max} [/mm] und [mm] \varphi [/mm] von 0 bis [mm] 2*\pi
[/mm]
3.) Berechnung als Oberfläche einer Rotationsfläche
mit z-Achse als Rotationsachse
Hast du mit "rechnerischem Weg" gemeint, dass du
alles ohne jeden Bezug zur Anschauung machen
möchtest ?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Do 19.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
> > Berechnen Sie den Oberflächeninhalt desjenigen Teils des
> > Paraboloids [mm]z=x^{2}+y^{2},[/mm] der zwischen den Ebenen z=0 und
> > z=4 liegt.
>
>
> > bezüglich dieser Aufgabe würde ich gerne wissen, wie man
> > hier auf rechnerischem Wege den Parameterbereich
> > [mm]K:=(x,y)\in\IR^{2}:\quad x^{2}+y^{2}\le2[/mm] ermitteln kann.
>
>
> Das sollte wohl heißen: [mm]x^2+y^2\le[/mm] 4 !
>
>
> Hallo Marcel,
>
> du hast verschiedene Möglichkeiten, vorzugehen:
>
> 1.) x-y-Koordinaten:
>
> dann geht z.B. die äussere Integration (über x) von -2 bis
> +2
> und die innere (über y) von [mm]y=-\wurzel{....}[/mm] bis
> [mm]y=+\wurzel{....}[/mm]
>
> 2.) Polarkoordinaten:
>
> r von 0 bis [mm]r_{max}[/mm] und [mm]\varphi[/mm] von 0 bis [mm]2*\pi[/mm]
>
> 3.) Berechnung als Oberfläche einer Rotationsfläche
> mit z-Achse als Rotationsachse
>
> Hast du mit "rechnerischem Weg" gemeint, dass du
> alles ohne jeden Bezug zur Anschauung machen
> möchtest ?
In der Musterlösung wird gesagt, man solle sich diese Parameterdarstellung mit Hilfe einer Skizze bewusst machen. Eine Rechnung ist mir da ehrlich gesagt lieber. Natürlich ist eine Skizze zur Ergänzung nie falsch. Vielen Dank jedenfalls für eure Hilfe.
> LG
>
|
|
|
| |
|
> > Hast du mit "rechnerischem Weg" gemeint, dass du
> > alles ohne jeden Bezug zur Anschauung machen
> > möchtest ?
>
> In der Musterlösung wird gesagt, man solle sich diese
> Parameterdarstellung mit Hilfe einer Skizze bewusst machen.
> [mm] $\red{\textit{\texttt{Eine Rechnung ist mir da ehrlich gesagt lieber. }}}$ [/mm]
> [mm] $\red{\textit{\texttt{Natürlich ist eine Skizze zur Ergänzung nie falsch.}}}$ [/mm]
Hallo Marcel,
Ich glaube, da hast du meinen Tipp, die Anschauung
mit zu verwenden, gerade gründlichst missverstanden !
Wenn du mit einer "Skizze" irgend so was grob
hingeschmiertes verstehst, aus dem man sowieso
nichts Genaues ablesen kann, dann hast du wohl
recht ... aber dann weisst du leider nicht, was
eine richtige Skizze ist.
Für mich sind Skizzen und Zeichnungen für
Aufgaben, die einen geometrischen Hintergrund
haben, ein ganz wichtiges (und keineswegs
unexaktes) Arbeitsmittel, und auf keinen Fall bloss
dekorative "Ergänzungen" ! In der gegenseitigen
Verknüpfung von geometrischen und rechnerischen
Mitteln zeigt sich erst die wirkliche Kraft der
analytischen und Differential-Geometrie.
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Do 19.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Entschuldige bitte, ich wollte dich damit nicht verärgern. Du hast sicherlich recht mit dem was du sagst. Ich wollte damit nur sagen, dass es nicht immer möglich ist, seine Rechnung mit Hilfe einer Skizze zu verbinden. Beispielsweise wenn man versucht sich den Raum [mm] R^{n}, [/mm] mit n>3 vorzustellen. Deswegen bin ich stets an einer rechnerischen Lösung interessiert. Ich versuche stets sauber und ordentlich zu arbeiten, auch im Hinblick auf hilfreiche Skizzen in der Mathematik.
|
|
|
| |
|
> Entschuldige bitte, ich wollte dich damit nicht verärgern.
Du hast mich nicht verärgert, mir aber Anlass gegeben,
etwas zum verbreiteten Missverständnis zu schreiben,
nur rechnerische Methoden seien "richtige" Mathematik.
> Du hast sicherlich recht mit dem was du sagst. Ich wollte
> damit nur sagen, dass es nicht immer möglich ist, seine
> Rechnung mit Hilfe einer Skizze zu verbinden.
> Beispielsweise wenn man versucht sich den Raum [mm]R^{n},[/mm] mit
> n>3 vorzustellen.
Schon die zuerst verwegene Idee, überhaupt das
mathematische Konzept eines höherdimensionalen
Raumes zu denken, konnte im 19. Jahrhundert nur
in Köpfen reifen, die sich intensiv mit der Geo-
metrie im [mm] \IR^1, \IR^2 [/mm] und [mm] \IR^3 [/mm] beschäftigt hatten. Als man
erkannt hatte, dass sich die hier erarbeiteten
Grundlagen in einheitlicher Weise (im Rahmen
eines Vektorraums) algebraisch darstellen lassen,
öffnete sich die Möglichkeit zur Erweiterung der
Dimensionen.
Bei der Entwicklung der Methoden für den [mm] \IR^n [/mm] spiel-
ten die aus der Arbeit im [mm] \IR^3 [/mm] gewonnenen geometri-
schen und anschaulichen Methoden die Grundlage.
Darum finde ich es auch für heutige Studierende
wichtig, ihre anschaulichen Fähigkeiten in der
ebenen und räumlichen "gewöhnlichen" Geometrie
zu schulen, um dann dem Formelapparat im [mm] \IR^n
[/mm]
nicht hoffnungslos ausgeliefert zu sein.
> Deswegen bin ich stets an einer
> rechnerischen Lösung interessiert. Ich versuche stets
> sauber und ordentlich zu arbeiten, auch im Hinblick auf
> hilfreiche Skizzen in der Mathematik.
Sehr gut. "Das Eine tun und das Andere nicht lassen"
ist hier eine gute Devise !
Gruß Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 Do 19.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Vielen Dank, ich werde deinen Kommentar beherzigen.
|
|
|
|
