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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 So 01.06.2008 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | Die durch r(x):=1+cos(x) mit 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm] gegebene Kurve (als Teil einer Herzkurve) rotiere um die x-Achse.
Bestimmen Sie den Oberflächeninhalt der Rotationsfläche (Apfel)! |
Hallo,
also die Formel mit der ich das machen kann, ist:
[mm] A_{x}=2\pi*\integral_{0}^{\pi}{(1+cosx)*\wurzel{1+(1+cosx)^2}dx}
[/mm]
Ich hab es mit der Halbwinkelmethode versucht, also:
[mm] z=tan\bruch{x}{2}, dx=\bruch{2*dz}{1+z^2}, cosx=\bruch{1-z^2}{1+z^2}
[/mm]
Das Integral lautet dann:
[mm] \integral{(1+\bruch{1-z^2}{1+z^2})*\wurzel{1+(1+\bruch{1-z^2}{1+z^2})^2} dx}
[/mm]
[mm] =\integral{(\bruch{2}{1+z^2})^2*\wurzel{1+(\bruch{2}{1+z^2})^2}*\bruch{2*dz}{1+z^2}}
[/mm]
[mm] =\integral{\bruch{8}{(1+z^2)^3}*\wurzel{\bruch{z^4+2z^2+5}{(1+z^2)^2}}}dz
[/mm]
[mm] =8*\integral{\bruch{\wurzel{z^4+2z^2+5}}{(1+z^2)^4}}dz
[/mm]
An der Stelle komme ich jetzt nicht weiter!
Hab auch versucht das Integral durch eine andere Substitution zu lösen mit [mm] t=(1+cosx)^2, [/mm] dt=-2*(1+cosx)*sinx*dx
Kann mir irgendjemand weiter helfen? Die Integratoren geben auch nichts ordentliches aus...
Vielen Dank!
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> Die durch r(x):=1+cos(x) mit 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le \pi[/mm] gegebene Kurve
> (als Teil einer Herzkurve) rotiere um die x-Achse.
> Bestimmen Sie den Oberflächeninhalt der Rotationsfläche
> (Apfel)!
(derartige "Äpfel" hab' ich allerdings noch nirgends gesehen !!)
Ich glaube, dass in der Aufgabenstellung etwas Zentrales
falsch ist. Wenn eine "Apfelkurve" bzw. Cardioïde (Herzkurve)
resultieren soll, dann ist bestimmt die Parameterdarstellung
r(t):=1+cos(t) mit 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le \pi[/mm]
(im x-y-Koordinatensystem wäre dann x=cos(t), y=sin(t) und [mm] r=\wurzel{x^2+y^2}) [/mm] !
gemeint, und nicht
r(x):=1+cos(x) mit 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le \pi[/mm]
(die unten folgenden Berechnungen will ich noch überprüfen...)
vorläufig: LG al-Chwarizmi
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> Hallo,
>
> also die Formel mit der ich das machen kann, ist:
>
> [mm]A_{x}=2\pi*\integral_{0}^{\pi}{(1+cosx)*\wurzel{1+(1+cosx)^2}dx}[/mm]
>
> Ich hab es mit der Halbwinkelmethode versucht, also:
> [mm]z=tan\bruch{x}{2}, dx=\bruch{2*dz}{1+z^2}, cosx=\bruch{1-z^2}{1+z^2}[/mm]
>
> Das Integral lautet dann:
>
> [mm]\integral{(1+\bruch{1-z^2}{1+z^2})*\wurzel{1+(1+\bruch{1-z^2}{1+z^2})^2} dx}[/mm]
>
> [mm]=\integral{(\bruch{2}{1+z^2})^2*\wurzel{1+(\bruch{2}{1+z^2})^2}*\bruch{2*dz}{1+z^2}}[/mm]
>
> [mm]=\integral{\bruch{8}{(1+z^2)^3}*\wurzel{\bruch{z^4+2z^2+5}{(1+z^2)^2}}}dz[/mm]
> [mm]=8*\integral{\bruch{\wurzel{z^4+2z^2+5}}{(1+z^2)^4}}dz[/mm]
>
> An der Stelle komme ich jetzt nicht weiter!
> Hab auch versucht das Integral durch eine andere
> Substitution zu lösen mit [mm]t=(1+cosx)^2,[/mm]
> dt=-2*(1+cosx)*sinx*dx
>
> Kann mir irgendjemand weiter helfen? Die Integratoren geben
> auch nichts ordentliches aus...
>
> Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 So 01.06.2008 | | Autor: | dieanne |
Das muss aber irgendwie gehen. Ich verstehe deine Anmerkung nicht so richtig, ist doch egal ob das Ding x oder t heißt, oder?
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> Das muss aber irgendwie gehen. Ich verstehe deine Anmerkung
> nicht so richtig, ist doch egal ob das Ding x oder t heißt,
> oder?
Du kannst natürlich die Kurve [mm]\ y = 1+cos(x) [/mm] [mm] (0\le x\le\ \pi) [/mm] um die x-Achse
drehen. nur entsteht dann allerdings etwas ganz anderes als ein "Apfel".
Für diese Rotationsfläche wäre die Oberfläche:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{2*\pi*f(x)*\wurzel{1+f'(x)^2}\ dx} [/mm] = [mm] 2*\pi*\integral_{0}^{\pi}{(1+cos(x))*\wurzel{1+sin^2(x)}\ dx}
[/mm]
(dies unterscheidet sich von deinem Integral)
Dreht man aber die Kurve [mm]\ r(t) = 1+cos(t)[/mm] [mm] (0\le t\le\ \pi)
[/mm]
(Polardarstellung!) um die x-Achse (nicht etwa um eine
t-Achse !), so entsteht tatsächlich der gewünschte "Apfel" !
LG al-Ch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 So 01.06.2008 | | Autor: | dieanne |
Oh sorry, das war dann mein Fehler. Ich konnte kein "Phi" machen und hab deshalb ein x genommen, eigentlich sollte es laut Aufgabenstellung ein Winkel sein  Wie geht es denn dann nun weiter?
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> Oh sorry, das war dann mein Fehler. Ich konnte kein "Phi"
> machen
Ein (grosses) "Phi" erhält man mit [mm] \backslash{phi}
[/mm]
> und hab deshalb ein x genommen, eigentlich sollte es
> laut Aufgabenstellung ein Winkel sein Wie geht es denn
> dann nun weiter?
Es gibt 2 Möglichkeiten.
1.) alles über den Parameter t:
[mm]\ x(t)=r(t)*cos(t)=(1+cos(t))*cos(t)[/mm]
[mm]\dot{x}(t) = (-sin(t))*cos(t)+(1+cos(t))*(-sin(t)) = .... [/mm]
[mm]dx = \dot{x}(t) * dt[/mm]
[mm]\ y(t) =r(t)*sin(t)=(1+cos(t))*sin(t)[/mm]
[mm]\dot{y}(t) = .... [/mm]
[mm]dy = \dot{y}(t) dt[/mm]
und dann die Oberfläche als Integral:
[mm]\integral_{t=0}^{t=\pi}{2*\pi*y(t)*ds}[/mm] wobei [mm]ds = \wurzel{dx^2+dy^2}[/mm]
falls du das versuchen willst, viel Glück ! ...
2.) Glücklicherweise geht es auch einfacher:
[mm] \integral_{t=0}^{t=\pi}{2*\pi*y(t)*\wurzel{r(t)^2+\dot{r}(t)^2}\ dt}
[/mm]
Das Nette ist, dass die Integration relativ leicht geht und ein
einfaches Resultat liefert.
al-Chwarizmi
Vorbehalt: Inhalt ohne absolute Gewähr...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 So 01.06.2008 | | Autor: | dieanne |
Wo hast du denn jetzt die Formel aus Möglichkeit 2 her?
Wir haben nur die eine eingeführt, die ich versucht habe zu benutzen, aber das wurde irgendwie auf allen Wegen kompliziert?
Oder besser gefragt: Sie ist ja "unserer" Formel nicht so unähnlich, aber woher weiß ich was r ist und wieso gilt [mm] 1+(f'(t))^2=r(t)+r'(t)?[/mm]
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> Wo hast du denn jetzt die Formel aus Möglichkeit 2 her?
>
> Wir haben nur die eine eingeführt, die ich versucht habe zu
> benutzen, aber das wurde irgendwie auf allen Wegen
> kompliziert?
Kannst du mir deine Formel (aus dem Skript oder so)
einmal angeben ?
"Meine" Formel hab' ich mir vorher mal wieder überlegt;
das hatten wir mal im Studium, und ich hoffe, es
richtig reproduziert zu haben. Ich suche (im Netz)
einen geeigneten Ort, wo man dies findet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 So 01.06.2008 | | Autor: | dieanne |
Wir haben für [mm] A_{x}=2\pi\integral_{t=a}^{b}{f(x)*\wurzel{1+(f'(x))^2} dx}. [/mm] Also geht es mir nur um die Diskriminante, der Rest ist ja eh gleich. Ich weiß noch durch die Bogenlängen, dass gilt:
[mm] L(K)=\integral_{t=a}^{b}{\wurzel{1+(f'(t))^2} dx}
[/mm]
[mm] L(K)=\integral_{t=a}^{b}{\wurzel{(r(t))^2+(r'(t))^2} dx}
[/mm]
Wobei das t bei der ersten Formel für die Bogenlänge eine kartesische Koordinate und bei der Zweiten eine ebene Polarkoordinate sein soll,
da scheint ja auch diese Gleichheit zu bestehen?
Was ist denn bei mir jetzt das r(t)???
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> Wir haben für
> [mm]A_{x}=2\pi\integral_{x=a}^{b}{f(x)*\wurzel{1+(f'(x))^2}\ dx}.[/mm]
(Grenzen a und b für die Variable x)
> Also geht es mir nur um die Diskriminante, der Rest ist ja
> eh gleich. Ich weiß noch durch die Bogenlängen, dass gilt:
> [mm]L(K)=\integral_{t=a}^{b}{\wurzel{1+(f'(t))^2}\ dx}[/mm]
ich denke, in dieser Formel sollte alles mit t oder alles mit x geschrieben sein
also (für meinen Geschmack lieber mit x)
[mm]L(K)=\integral_{x=a}^{b}{\wurzel{1+(f'(x))^2}\ dx}[/mm]
und in der nächsten alles mit t, also:
[mm]L(K)=\integral_{t=a}^{b}{\wurzel{(r(t))^2+(r'(t))^2}\ dt}[/mm] (nicht dx)
Wobei das x bei der ersten Formel für die Bogenlänge eine
kartesische Koordinate und das t bei der zweiten eine ebene
Polarkoordinate sein soll.
genau!
> da scheint ja auch diese Gleichheit zu bestehen?
ja, der Ausdruck [mm]\wurzel{1+(f'(t))^2}\ dt[/mm] oder [mm]\wurzel{(r(t))^2+(r'(t))^2}\ dt[/mm]
steht für das Differential [mm]\ ds[/mm] der Bogenlänge.
Für [mm]\ dx[/mm], [mm]\ dy[/mm] und [mm]\ ds[/mm] gilt eine
Pythagoras-Gleichung:
[mm]\ dx^2+dy^2=ds^2[/mm]
vorher habe ich mir (ebenfalls mittels Pythagoras) überlegt,
dass auch gilt:
[mm]\ (r(t)dt)^2 + (\dot{r}(t)dt)^2= ds^2[/mm]
> Was ist denn bei mir jetzt das r(t) ???
[mm]\ r(t) = 1+cos(t) [/mm]
[mm]\ \dot{r}(t) [/mm] ist die Ableitung nach t
und [mm]\ y(t) = r(t)*sin(t)[/mm]
Dann ist die Oberfläche:
[mm]\ 2*\pi*\integral_{0}^{\pi}{y(t)*\wurzel{(r(t))^2+(\dot{r}(t))^2}\ dt}[/mm]
Alles klar ? Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 So 01.06.2008 | | Autor: | dieanne |
So richtig ist mir der ganze Zusammenhang nicht klar. Also wieso das mit dem Pythagoras gilt und so. Ich mache es erstmal analog wie von dir beschrieben und versuche da dann nochmal durch zusteigen. Wir fangen das Thema nämlich gerade erst an und haben so eine kurze Einführung gehört, muss mich wahrscheinlich erstmal rein denken.
Mir ist der große Zusammenhang nicht klar...
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> So richtig ist mir der ganze Zusammenhang nicht klar. Also
> wieso das mit dem Pythagoras gilt und so. Ich mache es
> erstmal analog wie von dir beschrieben und versuche da dann
> nochmal durch zusteigen. Wir fangen das Thema nämlich
> gerade erst an und haben so eine kurze Einführung gehört,
> muss mich wahrscheinlich erstmal rein denken.
> Mir ist der große Zusammenhang nicht klar...
Hallo Anne,
wenn ich dich richtig verstehe, bist du also an den Begründungen
der Formeln interessiert - nicht einfach an deren Anwendung.
(Letzteres sollte dir zwar wohl möglich sein, da dir alle nötigen
Formeln vorliegen).
Das finde ich gut !
Bogenlängen- und Oberflächenberechnung von Drehkörpern
sind wirklich sehr eng miteinander verbunden.
Ich denke, ich habe dazu eine schöne Internetseite gefunden:
![[]](/images/popup.gif) http://images.google.ch/images?hl=de&q=Bogenlänge&btnG=Bilder-Suche&gbv=1
Dort findest du wenigstens zur ersten Formel Herleitung und
Rechenbeispiele.
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 So 01.06.2008 | | Autor: | dieanne |
Super, dankeschön!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Mo 02.06.2008 | | Autor: | dieanne |
So richtig klar komme ich doch noch nicht. Wenn ich das jetzt so mache, dann steht da:
[mm] 2\cdot{}\pi\cdot{}\integral_{0}^{\pi}{y(t)\cdot{}\wurzel{(r(t))^2+(\dot{r}(t))^2}\ dt}
[/mm]
= [mm] 2*\pi \integral{(1+cost)*sint*\wurzel{(1+cost)^2+(-sint)^2} dt}
[/mm]
= [mm] 2*\pi \integral{(1+cost)*sint*\wurzel{2+2cost}dt}
[/mm]
Das macht die Sache aber auch nicht leichter, oder habe ich schon wieder einen Denkfehler?
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> So richtig klar komme ich doch noch nicht. Wenn ich das
> jetzt so mache, dann steht da:
>
> [mm]2\cdot{}\pi\cdot{}\integral_{0}^{\pi}{y(t)\cdot{}\wurzel{(r(t))^2+(\dot{r}(t))^2}\ dt}[/mm]
>
> = [mm]2*\pi \integral_{0}^{\pi}{(1+cost)*sint*\wurzel{(1+cost)^2+(-sint)^2} dt}[/mm]
>
> = [mm]2*\pi \integral_{0}^{\pi}{(1+cost)*sint*\wurzel{2+2cost}dt}[/mm]
>
> Das macht die Sache aber auch nicht leichter, oder habe ich
> schon wieder einen Denkfehler?
nein, alles o.k.
hallo Anne,
die Substitution 1+cos(t) = u sollte weiterhelfen...
Gruß al-Ch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 So 01.06.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wo wir gerade bei dem Thema sind: Hat jemand einen Link, wo diese Oberflächenformel hergeleitet wird? Probiere sicher schon 2h rum, erhalte aber nur Mist.
Danke.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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> Hi!
>
> Wo wir gerade bei dem Thema sind: Hat jemand einen Link, wo
> diese Oberflächenformel hergeleitet wird? Probiere sicher
> schon 2h rum, erhalte aber nur Mist.
>
> Danke.
Guten Abend!
schau mal meine letzte Antwort an dieanne an !
al-Ch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 So 01.06.2008 | | Autor: | Teufel |
Danke dir auch, aber da komme ich nur zur Google Bildersuche...
Teufel
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> Danke dir auch, aber da komme ich nur zur Google
> Bildersuche...
entschuldige bitte, der endgültige Link wäre eigentlich folgender gewesen:
http://www.in-sel.com/selma/Drehkoerper/bausteine/bst3-1.htm
(wieviele Jahre müsste ich nun nach altem Kalender für dieses Versehen braten... ?) 
LG al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 So 01.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Teufel!
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Hier gefunden ...)
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 So 01.06.2008 | | Autor: | Teufel |
Ah, vielen Dank erstmal!
Außer der 1. Zeile ist eigentlich alles klar. Aber die 1. Zeile scheint mir etwas schwammig zu sein, oder es wurde einfach zu viel übersprungen. Kann mir dazu jemand noch etwas erzählen, wenn da jemand durchblickt?
Danke.
Teufel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 So 01.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Teufel!
Für die Mantelfläche wird die 1. Guldin'sche Regel im Zusammenhang mit der Bogenlänge [mm] $\text{ds}$ [/mm] einer Kurve verwendet.
Dabei gilt für die Mantelfläche:
[mm] $$\text{dM} [/mm] \ = \ [mm] 2\pi*\text{R}*\text{ds}$$
[/mm]
[mm] $\text{ds}$ [/mm] ist das betrachtete Bogenstück und [mm] $\text{R}$ [/mm] der Abstand des Bogenstücks von der x-Achse. Das kann man näherungsweise beschreiben mit [mm] $\text{R} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ y \ = \ f(x)$ .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:35 So 01.06.2008 | | Autor: | Teufel |
Hm ach so, da hab ich keine Ahnung von ;) danke dir trotzdem. geht wohl jetzt zu tief in die Materie...
Teufel
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> Hm ach so, da hab ich keine Ahnung von ;) danke dir
> trotzdem. geht wohl jetzt zu tief in die Materie...
>
> Teufel
Lieber Teufel,
das ist nun aber fast teuflisch simpel:
Stell dir eine möglicherweise etwas krumplig geratene,
aber trotzdem rotationssymmetrische Mortadella-Wurst
vor. Ob das von "della morte" kommt, ist mir übrigens
nicht bekannt, das müsstest du eigentlich besser wissen.
Die Mantellinie der Wurst sei durch die Funktion
r(x) oder f(x) (Radius an der Stelle x ab erstem Wurst-
ende) beschrieben.
Um die Oberfläche der Mortadellawurst zu bestimmen,
wenden wir natürlich die Salami-Taktik an (Frater
Almagado de Gorgonzola hat bewiesen, dass diese auch
für Mortadella-Häute anwendbar ist).
Wir schneiden also die Wurst in dünne Scheibchen einer
Dicke (oder eher gesagt Dünne) dx. Die Haut der Morta-
della-Wurst zerfällt damit in schmale runde geschlossene
Streifchen. Deren Länge (bzw. Umfang) entspricht dem
Umfang des Querschnittskreises der dicken Wurst an
der betrachteten Stelle x , also [mm] 2*\pi*f(x).
[/mm]
Die Breite des Wurstdarmstreifchens ist aber nicht etwa
einfach dx (so wäre es bei den billigen massengefertigten
und deshalb zylindrischen Bierwürsten, Mettwürsten oder
Frankfurtern), sondern ds = [mm] \wurzel{dx^2+dy^2}.
[/mm]
Pythagoras lässt grüssen, und er hat auch hier recht,
weil die dx, dy, ds infinitesimale Grössen sind und weil
hier die leichte Krümmung der Mantellinie der Wursthülle
vernachlässigt werden darf.
Wegen [mm] \bruch{dy}{dx}= [/mm] f'(x) kann man ds auch so
schreiben:
ds = [mm] \wurzel{1+f'(x)^2}*dx
[/mm]
(der Nachweis sei dem geneigten Leser überlassen...)
Die Oberfläche eines WurstHautStreifchens ist also
[mm] 2*\pi*f(x)* [/mm] ds = [mm] 2*\pi*f(x)*\wurzel{1+f'(x)^2}*dx
[/mm]
Durch Integration kommen wir zur WurstDarmOberFlächenFormel:
WDOF = [mm] 2*\pi*\integral_{erstes Wurstende}^{zweites Wurstende}{f(x)* \wurzel{1+f'(x)^2}*dx}
[/mm]
Solche Überlegungen sind erforderlich, um die wahren
Genüsse beim Wurst-Essen nicht nur kulinarisch, sondern
auch intellektuell voll auskosten zu können...
Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:27 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Teufel |
Hiho nochmal!
Vielen Dank für den Link und deine Mühe jetzt mit diesem Beitrag ;) wenn du Lehrer wärst, würden sicher mehr Leute Mathe mögen (oder zumindest nicht hassen).
Jetzt hat es gefunkt, ich bin nämlich immer von der Höhe dx und nicht von ds ausgegangen. Die Größen sind wohl so klein, dass ich den Unterschied nicht mehr gesehen habe. Auf alle Fälle vielen Dank dir und Loddar natürlich auch!
Hat mich nämlich schon längere Zeit genervt, dass ich nicht wusste, wie diese Formel zu Stande kommt. Also, gehaben Sie sich dann wohl, ich geh schlafen ;) man liest sich.
Teufel
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> Hiho nochmal!
>
> Vielen Dank für den Link und deine Mühe jetzt mit diesem
> Beitrag ;) wenn du Lehrer wärst, würden sicher mehr Leute
> Mathe mögen (oder zumindest nicht hassen).
>
> Jetzt hat es gefunkt, ich bin nämlich immer von der Höhe dx
> und nicht von ds ausgegangen. Die Größen sind wohl so
> klein, dass ich den Unterschied nicht mehr gesehen habe.
> Auf alle Fälle vielen Dank dir und Loddar natürlich auch!
>
> Hat mich nämlich schon längere Zeit genervt, dass ich nicht
> wusste, wie diese Formel zu Stande kommt. Also, gehaben Sie
> sich dann wohl, ich geh schlafen ;) man liest sich.
>
> Teufel
Guten Morgen !
Nur so nebenbei: ich bin Lehrer, bzw. bin's bis
vor kurzem gewesen...
Ich habe aber gemerkt: man kann hier im MatheRaum
eher präziser auf bestimmte Fragen eingehen als in einer
Klasse, wo stets noch zwanzig weitere dabei sind, von
denen oft einige abgelenkt oder manchmal gelangweilt
sind, weil sie schon einen Schritt weiter sind...
Wichtiger Unterschied: wer in den MatheRaum kommt,
will sich mit Mathe beschäftigen. Diese Voraus-
setzung ist in der Schule nicht immer gegeben...
LG al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:13 Mo 02.06.2008 | | Autor: | dieanne |
Hallo,
ich weiß jetzt wieso mein Weg nicht ging:
Ich hab unter der Wurzel [mm] 1+(f(x))^2 [/mm] eingesetzt und nicht [mm] 1+(f'(x))^2.
[/mm]
Diese Schusselfehler rauben mir noch meinen letzten Nerv! Da hätte ich mir die ganze Fehlersuche sparen können, schade dass es niemand gleich aufgefallen ist.
Trotzdem vielen Dank für die zahlreiche Hilfe!!!
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> Hallo,
>
> ich weiß jetzt wieso mein Weg nicht ging:
>
> Ich hab unter der Wurzel [mm]1+(f(x))^2[/mm] eingesetzt und nicht
> [mm]1+(f'(x))^2.[/mm]
> Diese Schusselfehler rauben mir noch meinen letzten Nerv!
> Da hätte ich mir die ganze Fehlersuche sparen können,
> schade dass es niemand gleich aufgefallen ist.
>
> Trotzdem vielen Dank für die zahlreiche Hilfe!!!
hi Anne,
ich glaube, ich habe so etwas sogar vermutet - aber dann
ist mir aufgefallen, dass du auf diesem Weg ohnehin
nicht den "Apfel" erhältst, von dem die Rede war...
LG
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