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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 Di 29.01.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Oberflächenintegral des Paraboloids z = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] über dem Einheitskreis [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] [mm] \le [/mm] 1. |
Hallo
Die Oberfläche von M= [mm] \phi(T):
[/mm]
[mm] V_k [/mm] (M)= [mm] \int_M [/mm] dS (x) = [mm] \int_T \sqrt{det(D\phi(t)^t D \phi(t))} [/mm] dt
Paraboloid in x-z ebene
[mm] z=x^2
[/mm]
-> Parabel mit Scheitelpunkt (0,0), nach oben geöffnet
Wie berechne ich das?
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> Berechnen Sie das Oberflächenintegral des Paraboloids z =
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] über dem Einheitskreis [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] [mm]\le[/mm] 1.
> Hallo
>
> Die Oberfläche von M= [mm]\phi(T):[/mm]
> [mm]V_k[/mm] (M)= [mm]\int_M[/mm] dS (x) = [mm]\int_T \sqrt{det(D\phi(t)^t D \phi(t))}[/mm]
> dt
>
> Paraboloid in x-z ebene
> [mm]z=x^2[/mm]
> -> Parabel mit Scheitelpunkt (0,0), nach oben geöffnet
>
>
> Wie berechne ich das?
Hallo sissile,
ich verstehe irgendwie deine Schreibweisen nicht so
recht, und ich vermute, dass du dir selber darüber
erst mal Klarheit verschaffen solltest.
Was genau meinst du mit [mm] \phi [/mm] , mit dem großen "T"
und mit den (verschiedenen !) kleinen "t" sowie
mit dem "x" und dem "D" ?
LG , Al-Chw.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:13 Mi 30.01.2013 | | Autor: | sissile |
Entschuldige ich habe es abgehackt beschrieben:
Def.:
Sei T [mm] \subset \IR^k [/mm] kompakt und M = [mm] \phi(T) \subset\IR^n [/mm] eine Mannigfaltigkeit und f:M->R stetig,dann ist
[mm] \int_M [/mm] f(x) dS = [mm] \int_T f(\phi(t) \sqrt{det([D\phi(t)]^{tr} D\phi(t))} [/mm] dt
t [mm] \in [/mm] T
Das k-dimensionale Volumen bzw. die Oberfläche von M haben wir so defeniert:
[mm] V_k [/mm] (M) := [mm] \int_M [/mm] dS
Ich habe nun tr für die Transponierte gewählt sodass man es besser erkennen kann, was ich meine.
[mm] D\phi... [/mm] Jacobimatrix(Funktionalmatrix) von [mm] \phi
[/mm]
[mm] \phi.. [/mm] Parameterdarstellung der Mannigfaltigkeit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Fr 01.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:57 Mi 30.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Ist [mm] K=\{(x,y) \in \IR^2: x^2+y^2 \le 1 \}, [/mm] so hast Du doch Deine Fläche in expliziter Darstellung
[mm] \Phi(x,y)=(x,y,f(x,y))
[/mm]
gegeben, wobei [mm] f(x,y)=x^2+y^2 [/mm] ist. ((x,y) [mm] \in [/mm] K)
Der Oberflächeninhalt ist dann gegeben durch
[mm] \integral_{K}^{}{\wurzel{f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2+1} d(x,y)}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Mi 30.01.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
> $ [mm] \Phi(x,y)=(x,y,f(x,y)) [/mm] $
> gegeben, wobei $ [mm] f(x,y)=x^2+y^2 [/mm] $ ist. ((x,y) $ [mm] \in [/mm] $ K)
[mm] \phi_x [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\f_x (x,y)}
[/mm]
[mm] \phi_y [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\f_y (x,y)}
[/mm]
| [mm] \phi_x \times \phi_y [/mm] | = [mm] \wurzel{f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2+1}
[/mm]
$ [mm] \integral_{K}^{}{\wurzel{f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2+1} d(x,y)} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{x^2+y^2 \le 1}^{}{\wurzel{f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2+1} d(x,y)} [/mm] $
Soll ich jetzt Polarkoordianten einführen für die Grenzen von K?
x= r cos [mm] \phi
[/mm]
y= r sin [mm] \phi
[/mm]
wobei 0 [mm] \le \phi \le [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] und 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 1
[mm] \integral_{K}^{}{\wurzel{f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2+1} d(x,y)} [/mm] = [mm] \int_0^{2\pi} \int_0^{r}r [/mm] ?? dr d [mm] \phi
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Mi 30.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> > [mm]\Phi(x,y)=(x,y,f(x,y))[/mm]
>
> > gegeben, wobei [mm]f(x,y)=x^2+y^2[/mm] ist. ((x,y) [mm]\in[/mm] K)
>
> [mm]\phi_x[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\f_x (x,y)}[/mm]
> [mm]\phi_y[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\f_y (x,y)}[/mm]
>
> | [mm]\phi_x \times \phi_y[/mm] | =
> [mm]\wurzel{f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2+1}[/mm]
>
> [mm]\integral_{K}^{}{\wurzel{f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2+1} d(x,y)}[/mm] =
> [mm]\integral_{x^2+y^2 \le 1}^{}{\wurzel{f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2+1} d(x,y)}[/mm]
>
> Soll ich jetzt Polarkoordianten einführen für die Grenzen
> von K?
> x= r cos [mm]\phi[/mm]
> y= r sin [mm]\phi[/mm]
> wobei 0 [mm]\le \phi \le[/mm] 2 [mm]\pi[/mm] und 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] 1
Das ist O.K.
>
> [mm]\integral_{K}^{}{\wurzel{f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2+1} d(x,y)}[/mm]
> = [mm]\int_0^{2\pi} \int_0^{r}r[/mm] ?? dr d [mm]\phi[/mm]
Das letzte Integral stimmt hinten und vorne nicht ! Geh nochmal in Dich.
FRED
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 16:18 Mi 30.01.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
[mm] \int_K [/mm] dS =$ [mm] \integral_{0}^{2\pi} \int_0^1 \wurzel{f_{rcos\phi} (rcos\phi,r sin \phi)^2+f_{r sin \phi}(rcos\phi,r sin \phi)^2+1} [/mm] d r d [mm] \phi
[/mm]
Muss ich das überall so ersetzten???
Ich denke mal das ist falsch!!
Andere Idee:
Ich wähle [mm] \Phi(x,y)= [/mm] ( r cos [mm] \phi, [/mm] r sin [mm] \phi, r^2)
[/mm]
da [mm] r^2 cos^2 \phi [/mm] + [mm] r^2 sin^2 \phi [/mm] = 1
[mm] \Phi_{r} \times \Phi_{\phi} =\vektor{cos \phi \\ sin \phi \\2r}\times\vektor{-rsin\phi \\ r cos \phi \\0}= \vektor{-2r^2 cos \phi \\ -2r^2 sin \phi \\r}
[/mm]
[mm] |\Phi_{r} \times \Phi_{\phi}|= \sqrt{4r^4 +r^2}
[/mm]
[mm] \int_K [/mm] dS = [mm] \integral_{0}^{2\pi} \int_0^1 \sqrt{4r^4 +r^2} [/mm] dr [mm] d\phi
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 01.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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