Oberflächenintegral 1. Art < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 So 03.02.2013 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Oberflächenintegral erster Art von [mm] $G:\IR^3\to\IR,\; [/mm] G(x,y,z):=x$ über das Flächenstück F: [mm] z=x^2+y [/mm] mit [mm] 0\le{}x\le{}1 [/mm] und [mm] -1\le{}y\le{}1. [/mm] |
Hallo.
Mir liegt die folgende Definition zugrunde: Sei F ein doppelpunktfreies Flächenstück in der Form [mm] f:\overline{D}\to\IR^3 [/mm] und sei [mm] G:A\to\IR [/mm] eine in A mit [mm] F\subset{}A\subset\IR^3 [/mm] definierte stetige Funktion. Dann heißt
[mm] \integral_{F}{G(x) d\sigma}:=\iint_{\overline{D}}G(f(u,v))|f_u(u,v)\times{}f_v(u,v)|d(u,v) [/mm] das Flächenintegral (von F über G) erster Art.
Mein Problem ist, dass ich keine Funktion f(u,v) (die ja nach [mm] \IR^3 [/mm] abbildet, also einen 3-D Vektor liefert) oder etwas anderes 3-dimensionales gegeben habe, was ich in G einsetzen kann. Vor allem muss ich das nicht vorhandene f dann noch nach u und v ableiten.
Kann mir jemand weiterhelfen?
gruß triad
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Hallo triad,
parametrisiere das Flächenstück F.
Nimm die Variablen x=u und y=v und du erhältst:
[mm] f(u,v)=\vektor{u\\v\\u^2+v},\ u\in(0,1),\ v\in(-1,1)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 So 03.02.2013 | | Autor: | triad |
> Hallo triad,
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> parametrisiere das Flächenstück F.
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> Nimm die Variablen x=u und y=v und du erhältst:
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> [mm]f(u,v)=\vektor{u\\v\\u^2+v},\ u\in(0,1),\ v\in(-1,1)[/mm]
Ah, danke. Da wäre (bin) ich selbst nicht drauf gekommen. Das sah für mich etwas fremd aus.
Ich habe dann weiter gerechnet [mm] \iint_{\overline{D}}G(f(u,v))|f_u(u,v)\times{}f_v(u,v)|d(u,v)=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{-1}^{1}u\left|\vektor{1 \\ 0 \\ 2u}\times{}\vektor{0 \\ 1 \\ 1}\right|d(u,v) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{-1}^{1}u\left|\vektor{-2u \\ -1 \\ 1}\right|d(u,v) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{-1}^{1}u\wurzel{4u^2+2}\;d(u,v) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}u\wurzel{4u^2+2}\,du\integral_{-1}^{1}1\,dv [/mm] = [mm] 2*\left(\wurzel{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3\wurzel{2}}\right).
[/mm]
Stimmt das? 
gruß triad
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 So 03.02.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
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> Stimmt das?
ja.
>
> gruß triad
Gruß,
notinX
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