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| Aufgabe | | Berechnen Sie für b > 0 das Integral [mm] \integral_{0}^{b}{x^2 dx} [/mm] als gemeinsamen Grenzwert der Folge von Obersummen [mm] \overline{S_{n}} [/mm] und der Folge von Untersummen [mm] \underline{S_{n}} [/mm] |
Ich hab bereits die Lösung aus dem Buch verstehe sie aber nicht so ganz ich hoffe ihr könnt mir helfen...
[mm] \overline{S_{n}} [/mm] = [mm] \Delta [/mm] x * ( [mm] f(x_{1}) [/mm] + [mm] f(x_{2}) [/mm] + [mm] f(x_{3}) [/mm] + ... + [mm] f(x_{n}-1) [/mm] + [mm] f(x_{n})
[/mm]
= [mm] \bruch{b}{n} [/mm] * ( [mm] \bruch{b^{2}}{n^{2}} [/mm] + [mm] 2^{2}*\bruch{b^{2}}{n^{2}} [/mm] + [mm] 3^{2}* \bruch{b^{2}}{n^{2}} [/mm] + ... + [mm] (n-1)^{2} *\bruch{b^{2}}{n^{2}} [/mm] + [mm] n^{2}*\bruch{b^{2}}{n^{2}} [/mm] )
= [mm] \bruch{b^{3}}{n^{3}} [/mm] * [mm] (1^{2}+2^{2}+3^{2}+ [/mm] ... + [mm] (n-1)^{2}+n^{2} [/mm] )
= [mm] \bruch{b^{3}}{n^{3}} [/mm] * [mm] \bruch{n*(n+1)*n*(2n+1)}{6}
[/mm]
Und genau hier liegt mein Problem .... warum durch 6 teilen ? wo kommt das her und wie kommt man drauf ...
Vielen Dank für eure Hilfe
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Hallo Tarik2010,
> Berechnen Sie für b > 0 das Integral [mm]\integral_{0}^{b}{x^2 dx}[/mm]
> als gemeinsamen Grenzwert der Folge von Obersummen
> [mm]\overline{S_{n}}[/mm] und der Folge von Untersummen
> [mm]\underline{S_{n}}[/mm]
> Ich hab bereits die Lösung aus dem Buch verstehe sie aber
> nicht so ganz ich hoffe ihr könnt mir helfen...
>
> [mm]\overline{S_{n}}[/mm] = [mm]\Delta[/mm] x * ( [mm]f(x_{1})[/mm] + [mm]f(x_{2})[/mm] +
> [mm]f(x_{3})[/mm] + ... + [mm]f(x_{n}-1)[/mm] + [mm]f(x_{n})[/mm]
>
> = [mm]\bruch{b}{n}[/mm] * ( [mm]\bruch{b^{2}}{n^{2}}[/mm] +
> [mm]2^{2}*\bruch{b^{2}}{n^{2}}[/mm] + [mm]3^{2}* \bruch{b^{2}}{n^{2}}[/mm] +
> ... + [mm](n-1)^{2} *\bruch{b^{2}}{n^{2}}[/mm] +
> [mm]n^{2}*\bruch{b^{2}}{n^{2}}[/mm] )
>
> = [mm]\bruch{b^{3}}{n^{3}}[/mm] * [mm](1^{2}+2^{2}+3^{2}+[/mm] ... +
> [mm](n-1)^{2}+n^{2}[/mm] )
>
> = [mm]\bruch{b^{3}}{n^{3}}[/mm] * [mm]\bruch{n*(n+1)*n*(2n+1)}{6}[/mm]
Im Zähler ist ein "n" zuviel:
[mm]\bruch{b^{3}}{n^{3}} * \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}[/mm]
>
>
> Und genau hier liegt mein Problem .... warum durch 6 teilen
> ? wo kommt das her und wie kommt man drauf ...
Du kommst darauf, wenn Du das Gleichungssystem
[mm]s\left(1\right)=1^{2}[/mm]
[mm]s\left(2\right)=1^{2}+2^{2}[/mm]
[mm]s\left(3\right)=1^{2}+2^{2}+3^{2}[/mm]
[mm]s\left(4\right)=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}[/mm]
mit [mm]s\left(n\right)=a*n^3+b*n^2+c*n+d[/mm] löst.
>
> Vielen Dank für eure Hilfe
Gruss
MathePower
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> Berechnen Sie für b > 0 das Integral [mm]\integral_{0}^{b}{x^2 dx}[/mm]
> als gemeinsamen Grenzwert der Folge von Obersummen
> [mm]\overline{S_{n}}[/mm] und der Folge von Untersummen
> [mm]\underline{S_{n}}[/mm]
> Ich hab bereits die Lösung aus dem Buch verstehe sie aber
> nicht so ganz ich hoffe ihr könnt mir helfen...
>
> [mm]\overline{S_{n}}[/mm] = [mm]\Delta[/mm] x * ( [mm]f(x_{1})[/mm] + [mm]f(x_{2})[/mm] +
> [mm]f(x_{3})[/mm] + ... + [mm]f(x_{n}-1)[/mm] + [mm]f(x_{n})[/mm]
>
> = [mm]\bruch{b}{n}[/mm] * ( [mm]\bruch{b^{2}}{n^{2}}[/mm] +
> [mm]2^{2}*\bruch{b^{2}}{n^{2}}[/mm] + [mm]3^{2}* \bruch{b^{2}}{n^{2}}[/mm] +
> ... + [mm](n-1)^{2} *\bruch{b^{2}}{n^{2}}[/mm] +
> [mm]n^{2}*\bruch{b^{2}}{n^{2}}[/mm] )
>
> = [mm]\bruch{b^{3}}{n^{3}}[/mm] * [mm](1^{2}+2^{2}+3^{2}+[/mm] ... +
> [mm](n-1)^{2}+n^{2}[/mm] )
>
> = [mm]\bruch{b^{3}}{n^{3}}[/mm] * [mm]\bruch{n*(n+1)*n*(2n+1)}{6}[/mm]
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> Und genau hier liegt mein Problem .... warum durch 6 teilen
> ? wo kommt das her und wie kommt man drauf ...
>
> Vielen Dank für eure Hilfe
die reihe mit ihrem grenzwert findest du auch in formelsammlungen, oder hier bei wiki:
http://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Beispiele
gruß tee
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