Offen/Biholomorphie/injektiv < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | Es sei [mm] f(z)=z^{2}
[/mm]
(1) Zeigen Sie: Es existiert keine offene Umgebung U(0) von 0 [mm] \in \ICm [/mm] so dass [mm] f|_{U} [/mm] injektiv ist. |
| Aufgabe 2 | | Zeigen Sie: Zu jedem a [mm] \not= [/mm] 0 existiert eine offene Umgebung U(a), so dass [mm] f|_{U} [/mm] injektiv ist. |
| Aufgabe 3 | Es seien [mm] H^{+}:=\{z \in \IC | Rez >0 \} [/mm] und [mm] H^{-}:=\{z \in \IC | Rez < 0 \}.
[/mm]
Bestimmen und zeichnen Sie [mm] f(H^{+}), f(H^{-}) [/mm] und [mm] f(H^{+}) \cap f(H^{-}) [/mm] |
| Aufgabe 4 | | Zeigen Sie: [mm] f^{+}: H^{+} \to f(H^{+}) [/mm] mit [mm] f^{+}:=f|_{H^{+}} [/mm] und [mm] f^{-}: H^{-} \to f(H^{-}) [/mm] mit [mm] f^{-}:=f|_{H^{-}} [/mm] sind biholomorphe Abbildungen. Geben Sie weiterhin [mm] (f^{+})^{-1} [/mm] und [mm] (f^{-})^{-1} [/mm] in Polarkoordinaten an. |
| Aufgabe 5 | | Beweisen Sie: Ex existiert keine offene Menge [mm] \Omega, [/mm] mit [mm] H^{+} \varsubsetneq \Omega, [/mm] so dass sich [mm] f|_{H^{+}} [/mm] zu einer injektiven Funktion auf [mm] \Omega [/mm] fortsetzen lässt. |
Hallo zusammen,
ich bin bei den obigen Aufgaben etwas ratlos und brauche daher eure Hilfe.
Bei 1) und 2) fehlem mir leider die Ansätze, könnte mir da jemand einen Anstupser geben? Ich weiß, was offen und injektiv definitionstechnisch heißt, nur wie muss ich hier genau arbeiten?
zu 3) [mm] f(z)=z^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy
[/mm]
Bei [mm] f(H^{+}) [/mm] muss gelten [mm] x^{2}>y^{2}
[/mm]
Und bei [mm] f(H^{- })x^{2}
ISt der Durchschnitt dann leer, weil beide keine Gemeinsamkeiten haben?
zu 4) Beide können nach der Bedingung von 3 in der Ableitung nicht nicht glecih 0 werden. Reicht das, um Biholomorphie zu zeigen? (d.h. ich will ausnutzen f ist biholomoprh wenn [mm] f'\not=0). [/mm] Wie baue ich am Besten in Polarkoordinaten um?
Zu 5) Hier fehlt leider bei mir auch der Ansatz, welche Überlegung steckt hier dahinter?
Beste Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Mi 08.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich gehe nur auf 1) und 2) ein, weil ich gleich weg muß.
Zu 1. Das solltest Du doch schon aus der Schule kennen: f(x)=f(-x) für jedes x [mm] \in \IR.
[/mm]
Kann es dann eine offene Umgebung U(0) von 0 geben, so dass $ [mm] f|_{U} [/mm] $ injektiv ist ?
Zu 2. Zu a [mm] \ne [/mm] 0 wähle den Radius der offenen Kreischeibe U(a) um a , so klein, dass 0 [mm] \notin [/mm] U(a).
Jetzt nimm Dir z,w [mm] \in [/mm] U(a) mit f(z)=f(w) her und zeige: z=w.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Sa 11.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
